2018高考数学（理）专题突破--15函数图象与性质（教师版+学生版）

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 函数图象与性质 【考点梳理】 1.函数的性质 (1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则. (2)奇偶性：①若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x). ②若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)＝0. ③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性. (3)周期性：①若y＝f(x)对x∈R，f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝f(x)(a>0)恒成立，则y＝f(x)是周期为2a的周期函数. ②若y＝f(x)是偶函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为2|a|的周期函数. ③若y＝f(x)是奇函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为4|a|的周期函数. ④若f(x＋a)＝－f(x)，则y＝f(x)是周期为2|a|的周期函数. 2.函数的图象 (1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换. (2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究. (3)函数图象的对称性 ①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； ②若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称. 【题型突破】 题型一、函数及其表示 【例1】(1)函数y＝的定义域为(　　) A.(－∞，1] B.[－1，1] C.∪ D.∪ (2)已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝(　　) A.－ B.－ C.－ D.－ 【答案】(1)C　(2)A 【解析】(1)函数有意义，则 即 所以函数的定义域为. (2)若a≤1，则f(a)＝2a－1－2＝－3，2a－1＝－1，无解； 若a>1，则f(a)＝－log2(a＋1)＝－3，a＝7， 故f(6－a)＝f(－1)＝2－2－2＝－2＝－. 【类题通法】 1.(1)给出解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合，只需构建不等式(组)求解即可. (2)抽象函数：根据f(g(x))中g(x)的范围与f(x)中x的范围相同求解. 2.对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则. 【对点训练】 (1)函数y＝(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则loga＋loga＝(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)已知函数f(x)＝(a∈R)，若f(f(－1))＝1，则a＝(　　) A. B. C.1 D.2 【答案】(1)C　(2)A 【解析】(1)当x＝1时，y＝0，则函数在[0，1]上为减函数，故a>1.∴当x＝0时，y＝1，则＝1，∴a＝2. 则loga＋loga＝loga＝log28＝3. (2)∵f(－1)＝2－(－1)＝2， ∴f[f(－1)]＝f(2)＝4a＝1，解得a＝. 题型二、 函数的图象及应用 【例2】函数f(x)＝·sin x的图象大致形状为(　　) 【答案】A 【解析】∵f(x)＝·sin x， ∴f(－x)＝·sin(－x)＝－sin x＝·sin x＝f(x). ∴函数f(x)为偶函数，故排除C，D， 当x＝2时，f(2)＝·sin 2<0，故排除B，只有A符合. 【例3】(1)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|＜g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)(　　) A.有最小值－1，最大值1 B.有最大值1，无最小值 C.有最小值－1，无最大值 D.有最大值－1，无最小值 (2)设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a<1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】(1)C　(2)D 【解析】(1)画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点.由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|