21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 二次函数与幂函数 【考点梳理】 1．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为(h，k)； 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点． (2)二次函数的图象与性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 图象 定义域 R 值域 单调性 在上减，在上增 在上增，在上减 对称性 函数的图象关于x＝－对称 2.幂函数 (1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)五种常见幂函数的图象与性质 函数特征性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 图象 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 (－∞，0)减，(0，＋∞)增 增 增 (－∞，0)和(0，＋∞)减 公共点 (1,1) 【考点突破】 考点一、求二次函数的解析式 【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． [解析] 法一(利用一般式)： 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 由题意得 解得 ∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二(利用顶点式)： 设f(x)＝a(x－m)2＋n. ∵f(2)＝f(－1)， ∴抛物线的图象的对称轴为x＝＝. ∴m＝.又根据题意函数有最大值8，∴n＝8. ∴y＝f(x)＝a2＋8. ∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4， ∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三(利用零点式)： 由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数的最大值是8，即＝8， 解得a＝－4， ∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 【类题通法】 用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，选法如下 【对点训练】 已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式． [解析] ∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立， ∴f(x)的对称轴为x＝2. 又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2， ∴f(x)＝0的两根为1和3. 设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)． 又∵f(x)的图象过点(4,3)， ∴3a＝3，a＝1. ∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)， 即f(x)＝x2－4x＋3. 考点二、二次函数的图象与性质 【例2】(1)设abc＞0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( ) A B C D (2)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m的取值范围是_____． [答案] (1)D (2) [解析] (1)由A，C，D知，f(0)＝c＜0. ∵abc＞0，∴ab＜0，∴对称轴x＝－＞0，知A，C错误，D符合要求．由B知f(0)＝c＞0，∴ab＞0，∴x＝－＜0，B错误． (2)作出二次函数f(x)的图象，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0，则有 即解得－＜m＜0. 【例3】(1)若xlog52≥－1，则函数f(x)＝4x－2x＋1－3的最小值为( ) A．－4 B．－3 C．－1 D．0 (2)已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0，1]上的最大值为2，则a的值为( ) A．2 B．－1或－3 C．2或－3 D．－1或2 [答案] (1)A (2)D [解析] (1)xlog52≥－1 log52x≥log55－1 2x≥， 令t＝2x，则有y＝t2－2t－3＝(t－1)2－4， 当t＝1≥，即x＝0时，f(x)取得最小值－4.故选A. (2)函数f(x)＝－(x－a)2＋a2－a＋1图象的对称轴为x＝a，且开口向下，分三种情况讨论如下： ①当a≤0时，函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0，1]上是减函数， ∴f(x)max＝f(0)＝1－a，由1－a＝2，得a＝－1. ②当0＜a≤1时，函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0，a]上是增函数，在[a，1]上是减函数， ∴f(x)max＝f(a)＝－a2＋2a2＋1 ... ...
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