考点二十 正弦定理、余弦定理及解三角形 知识梳理 1．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝； cos B＝； cos C＝ 2.三角形面积公式： S△ABC＝ ah(h表示边a上的高) ； S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B； S△ABC＝； S△ABC＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r. 3．三角形解的判断 在△ABC中，已知a、b和A时，三角形解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A
b 解的 个数 一解 两解 一解 一解 典例剖析 题型一 利用正弦定理解三角形 例1 在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝_____. 答案 解析 在△ABC中，由正弦定理＝，得sin B＝＝＝. 变式训练 在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC＝_____． 答案 2 解析 在△ABC中，＝，∴ AC＝＝＝2. 解题要点 如果已知两边一角或是两角一边解三角形时，通常用正弦定理． 题型二 利用余弦定理解题 例2 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是_____.21世纪教育网版权所有 答案 解析 ∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.① ∵C＝，∴c2＝a2＋b2－2abcos ＝a2＋b2－ab.② 由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6. ∴S△ABC＝absin C＝×6×＝. 变式训练 在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cos C＝，则BC＝ . 答案 4或5 解析 设BC＝x，则由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C得5＝25＋x2－2·5·x·，即x2－9x＋20＝0，解得x＝4或x＝5.21cnjy.com 解题要点 如果已知两边一角或是已知三边解三角形时，通常用余弦定理． 题型三 综合利用正余弦定理解题 例3 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知(b－2a)cos C＋ccos B＝0. (1)求C； (2)若c＝，b＝3a，求△ABC的面积． 解析 (1)由已知及正弦定理得：(sin B－2sin A)cos C＋sin Ccos B＝0，sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Acos C， sin(B＋C)＝2sin Acos C，∴sin A＝2sin Acos C. 又sin A≠0，得cos C＝. 又C∈(0，π)，∴C＝. (2)由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos C，∴ 解得a＝1，b＝3. 故△ABC的面积S＝absin C＝×1×3×＝. 变式训练 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B. (1)求角B的大小； (2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值． 解析 (1)由bsin A＝acos B及正弦定理＝，得sin B＝cos B. 所以tan B＝，所以B＝. (2)由sin C＝2sin A及＝，得c＝2a. 由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得9＝a2＋c2－ac.所以a＝，c＝2. 解题要点 解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．21·cn·jy·com 当堂练习 1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是_____.2·1·c·n·j·y 答案 解析 由c2＝(a－b)2＋6，可得a2＋b2－c2＝2ab－6.① 由余弦定理及C＝，可得a2＋b2－c2＝ab.② 所以由①②得2ab－6＝ab，即ab＝6. 所以S△ABC＝absin＝×6×＝. 2．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知b＝2，B＝30°，C＝15°，则a等于_____.【来源：21·世纪·教育·网】 答案 2 解析 A＝180°－30°－15°＝135°， 由正弦定理＝，得＝，即a ... ... 
