2018年中考数学复习专题攻略 第五讲 二次函数压轴研究

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 2018年中考数学复习专题攻略第五讲二次函数压轴问题 【专题解析】 函数压轴题主要分为两大类：一是动 点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题.解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数关系式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案.【来源：21cnj*y.co*m】 【方法点拨】 二次函数主要是借助动点问题和三角形、四边形相关的研究，分析此类问题主要是化动为静，化大为小，逐一解答的过程。21教育名师原创作品 【类型突破】 类型一：函数动点问题 （2017 营口）如图，抛物线y=ax2+ bx﹣2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．21教育网 （1）求抛物线解析式； （2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积； （3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上 一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在上，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】 【考点】HF：二次函数综合题． 【分析】（1）由抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，A（﹣2，0）在抛物线上，于是列方程即可得到结论； （2）根据函数解析式得到B （4，0），C（0，﹣2），求得BC的解析式为y=x﹣2，设D（m，0），得到E（m，m﹣2），P（m，m2﹣m﹣2），根据已知条件列方程得到m=5，m=0（舍去），求得D（5，0），P（5，），E（5，），根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）设M（n，n﹣2），①以BD为对 角线，根据菱形的性质得到MN垂直平分BD，求得n=4+，于是得到N（，﹣）；②以BD为边，根据菱形的性质得到MN∥BD，MN=BD=MD=1，过M作MH⊥x轴于H，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【解答】（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，A（﹣2，0）在抛物线上，∴，解得：，抛物线解析式为y=x2﹣x﹣2； （2）令y=x2﹣x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=4，当x=0时，y=﹣2，∴B（4，0），C（0，﹣2），设BC的解析式为y=kx+b，则，解得：，∴y=x﹣2， 设D（m，0）， ∵DP∥y轴， ∴E（m，m﹣2），P（m，m2﹣m﹣2）， ∵OD=4PE， ∴m=4（m2﹣m﹣2﹣m+2）， ∴m=5，m=0（舍去）， ∴D（5，0），P（5，），E（5，）， ∴四边形POBE的面积=S△OPD﹣S△EBD=×5×﹣1×=； （3）存在，设M（n，n﹣2）， ①以BD为对角线，如图1， ∵四边形BNDM是菱形， ∴MN垂直平分BD， ∴n=4+， ∴M（，）， ∵M，N关于x轴对称， ∴N（，﹣）； ②以BD为边，如图2， ∵四边形BNDM是菱形， ∴MN∥BD，MN=BD=MD=1， 过M作MH⊥x轴于H， ∴MH2+DH2=DM2， 即（n﹣2）2+（n﹣5）2=12， ∴n1=4（不合题意），n2=5.6， ∴N（4.6，）， 同理（n﹣2）2+（4﹣n）2=1， ∴n1=4+（不合题意，舍去），n2=4﹣， ∴N（5﹣，）， ③以BD为边，如图3， 过M作MH⊥x轴于H， ∴MH2+BH2=BM2， 即（n﹣2）2+（n﹣4）2=12， ∴n1=4+，n2=4﹣（不合题意，舍去）， ∴N（5+，）， 综上所述，当N（，﹣）或（4.6，）或（5﹣，）或（5+，），以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形． 【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题主要涉及了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、勾股定理，三角形的面积公式、菱形的性质、根据题意画出符合条件的图形是解题的关键． 变式练习： （2017黑龙江鹤岗）如图，矩形AOCB的顶点A、C分别位于x轴和y轴的正半轴上，线段OA、OC的长度满足方 ... ...