第17章 勾股定理与数学思想方法精讲精练（教师版+学生版）

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 人教版第17章《勾股定理与数学思想》精讲精练教师版 一：知识精析 1. 直角三角形的边角关系 （1） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 . （2） 有一条直角边斜边对应相等的两个直角三角形 . （3） 在直角三角形中，两直角边的 .等于斜边的 . （4） 如果一个三角形两边的 .等于第三边的平方，那么，这个三角形是直角三角形 （5） 30度所对的直角边等于斜边的 .；由勾股定理可得此时三边之比为 .；同理可得含45度的直角三角形三边之比为 . （6） 有两个内角都为 .度的三角形是等腰直角三角形 2 技巧与方法：一般情况下，在有直角情况下，研究线段与角数量及位置关系、或求面积、周长，或见直角作垂直思勾股，进行转化：通常与翻折结合考查，解决问题的策略是：等积或方程转化、数形结合、方程与分类等核心数学思想方法21教育名师原创作品 二：典题精讲 典题1：特殊角作垂直转化 （2017·十堰）如图，海中有一小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？ 【解答】解：只要求出A到BD的最短距离是否在以A为圆心，以8海里的圆内或圆上即可， 如图，过A作AC⊥BD于点C，则AC的长是A到BD的最短距离，∵∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，∴∠BAD＝60°－30°＝30°，∠ABD＝90°－60°＝30°，∴∠ABD＝∠BAD，∴BD＝AD＝12海里，∵∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，∴CD＝AD＝6海里，由勾股定理得：AC＝≈10．392＞8，即渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险． 典题2：双直双设元求解 在△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB于D，CD=3,BD=4,求AD长21·cn·jy·com 【解答】解：设AD=x,AC=y，则由双直角两次运用勾股定理得：相消y可解得，则AD= 典题3：位置不明需分类 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，点P在线段AB上运动，设AP=x，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原． （1）当x=0时，折痕EF的长为_____；当点E与点A重合时，折痕EF的长为_____； （2）试探索使四边形EPFD为菱形时x的取值范围，并求当x=2时，菱形EPFD的边长． 【解答】解：（1）∵纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF，当AP=x=0时，点D与点P重合，即为A，D重合，B，C重合，那么EF=AB=CD=3；21·世纪*教育网 当点E与点A重合时，∵点D与点P重合，∴∠DEF=∠FEP=45°，∴∠DFE=45°，即：ED=DF=1，利用勾股定理得出EF=，∴折痕EF的长为；2·1·c·n·j·y 故答案为：3； （2）∵要使四边形EPFD为菱形，∴DE=EP=FP=DF，只有点E与点A重合时，EF最长为 ，此时x=1， 当EF最短时，即EF=BC，此时x=3，∴1≤x≤3 当x=2时，如图，连接DE、PF．∵EF是折痕，∴DE=PE，设PE=m，则AE=2-m，∵在△ADE中，∠DAE=90°，∴AD2+AE2=DE2，即12+（2-m）2=m2解得m= ，此时菱形EPFD的边长为． 典题4：特殊数值与对角互补 两个不同的三角纸板ACD和BAC中，己知∠BCD=x°　,∠BAD=y°,CB=CD，重合AC边放置，如图，当B,D位于AC异侧时，分别画出以下情形所对应的示意图，并解决相关问题 （1）己知∠BCD==∠BAD=90°,CB=CD,求证:AB+AD=AC （2）己知∠BCD=120°,∠BAD=60°,CB=CD,求证:AB+AD=AC （3）当B,D位于AC同侧放置时，且∠BCD＝∠BAD=90°,CB=CD,求证:AB－AD=AC 【解答】解：图略 (1)延长AB到E，使BE=AD,可得△CBE≌△CDA，证得△ACE为等腰直角三角形；AB+AD=AE=AC21教育网 或者过C作AB的垂线全等转化同样可证 (2)证明：在AB的延长线上截取BE=AD，连接EC，∵∠BCD+∠BAD=120°+60°=180°， ∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ABC+∠EBC=180°，∴∠ADC=∠EBC，在 ... ...