专题3.12 巧解二次函数问题-备战2018年中考数学一轮微专题突破（原卷版+解析版）

巧解二次函数问题 【专题综述】 二次函数问题在形式上呈现多样性和复杂性，在思维方法和解题方法上又表现为灵活性，在通解通法的基础上，若要寻求简速思维，常需要采用转化策略．巧解二次函数问题，需要我们具有一定的解题经验和洞察力，本文举例说明． 【方法解读】 一、巧设解析式解决问题 在一些二次函数问题中，有时题设会给出含有待定系数的解析式和相关条件，目标是求出解析式，对于这类问题，我们不一定非要受条件的束缚，可以根据已知的条件重新选择一般式、顶点式或零点式． 例1 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c顶点坐标为（4，－1），与y轴交于点(0，3)，求抛物线的解析式． 解析 题目中给出的是一般式，如果将顶点带入顶点坐标公式，将交点(0，3)带入解析式，会得到二元一次方程组，求解过程麻烦，计算量也比较大．根据顶点坐标为(4，－1)，重新设解析式为顶点式y＝a(x－4)2－1(a≠0)，此时解析式中只含有一个待定系数a，只需将交点(0，3)代入其中，便会得到关于a的一元一次方程，很容易求出a，得出所求解析式． 变式 二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝3，最小值为－2，且过点(0，1)，求此函数的解析式． 解析 此题中的条件对称轴为x＝3，最小值为－2，其实就是告诉我们顶点坐标为（3，－2），将二次函数解析式重新设为顶点式即可方便解题． 例2 抛物线的对称轴是x＝3，且过点（4，－4）、（－1，2），求此抛物线的解析式． 解析 此题并没有完全给出顶点坐标，对称轴为x＝3．就是告诉了我们顶点的横坐 标为3，同样设顶点式y＝a(x－3)2＋b(a≠0)，代入（4，－4）、（－1，2）这两个点到解析式中，我们只需要解关于a、b的二元一次方程组，如果设一般式y＝ax2＋bx＋c解决，那么将会得到关于a、b、c的三元一次方程组，相对麻烦． 例3 二次函数y＝－x2＋bx＋c图象的最高点是（－1，－3），求b、c的值． 解析 解析式中的a为－1，结合最高点是（－1，－3）即为顶点坐标，不需要计算，直接表示出解析式为y＝－(x＋1)2－3，整理成一般形式，即可得到b，c的值． 二、巧用对称轴解决问题 二次函数的图象是轴对称曲线，解题时应充分利用图象的对称性． 例4 已知二次函数y＝x2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： 求该二次函数的关系式． 解析 此题的常规解法是代入2个点的坐标，组成二元一次方程组，得出解析式，计算量较大．若根据表格中(1，2)和(3，2)是对称的两点，可以得出对称轴为x＝＝2，则顶点坐标为(2，1)，进而得到解析式为y＝(x－2)2＋1．很快就能得到答案． 例5 初三数课本上，用“描点法”画二次函数的图象时，列了如下表格： 根据表格上的信息回答问题：该二次函数y＝ax2＋bx＋c在x＝3时，y＝_____． 解法1 解析式中有3个待定系数，代入3个点，组成三元一次方程组，可得解析式． 解法2 根据对称性，（0，－2）、（2，－2）是关于对称轴对称的两点，可以得出对称轴为x＝(0＋2)／2＝1．则顶点坐标为（1，－2），可得解析式为y＝(x－1)2－2，将x＝3代入解析式，求出y的值． 解法3 由解法2知对称轴为x＝(0＋2)/2＝1，则顶点坐标为（1，－2）．再由对称性，x＝3时y的值即为x＝－1所对应的y值－4． 很显然，解法3显得简明、快捷， 三、巧用函数图象解决方程、不等式问题 求解二次函数问题，可全面考察三个“二次”的密切关系，适当利用这种关系，既能简化计算，也为后继的高中习打好基础． 例6 如图1所示，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点分别为(1，0)(3，0)，根据图象解答下列问题： (1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根； (2)写出不等式ax2＋bx＋c>0的解集； (3)若方程ax2＋bx＋c＝k没有实数根，求k的取值范围． 解析 解决这类问题，要利用数形结合思想． (1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根即为抛物线 ... ...