本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 2．7 函数的周期性 ———函数的周期性不仅存在于三角函数中，在其它函数或者数列中“突然”出现的周期性问题更能考查你的功底和灵活性，本讲重点复习一般函数的周期性问题 一.明确复习目标 1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期； 2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。 二、建构知识网络 1.函数的周期性定义： 若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的 2.若T是周期，则k·T（k≠0,k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非所都有最小正周期。如常函数f(x)=C； 3.若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x－a),则2a为函数f(x)的周期。 （若f(x)满足f(a+x)=f(a－x)则f(x)的图象以x=a为图象的对称轴，应注意二者的区别) 4.若函数f(x)图象有两条对称轴x=a和x=b，（a0,使，则的一个周期是 ，f(px)的一个正周期是 ； 5.数列中 简答精讲：1、B；2、A；3、993；因（-1，0）是中心，x=0是对称轴，则周期是4；4、，；5、；由已知，周期为6。 四.经典例题做一做 【例1】已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈(0,1)时，f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式。 解法1：（从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上。） ∵ x∈(1,2), 则-x∈(-2,-1), ∴ 2-x∈(0,1), ∵ T=2,是偶函数 ∴ f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x. x∈(1,2). 解法2（从图象入手也可解决，且较直观）f(x)=f(x+2) 如图：x∈(0,1), f(x)=x+1.∵是偶函数 ∴x∈(-1,0)时f(x)=f(-x)=-x+1. 又周期为2， x∈(1,2)时x-2∈（-1，0） ∴f(x)=f(x-2)=-(x-2)+1=3-x. 提炼方法：1.解题体现了化归转化的思想,即把未知的(1,2)上向已知的(0,1)上转化; 2.用好数形结合,对解题很有帮助. 【例2】f(x)的定义域是R，且f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),若f(0)=2008,求 f(2008)的值。 解： 周期为8， 法二：依次计算f(2、4、6、8)知周期为8，须再验证。 方法提炼： 1.求周期只需要弄出一个常数; 2.注意既得关系式的连续使用. 【例3】若函数在R上是奇函数，且在上是增函数，且. ①求的周期； ②证明f(x)的图象关于点(2k,0) 中心对称;关于直线x=2k+1轴对称, (k∈Z ); ③讨论f(x)在(1,2)上的单调性； 解: ①由已知f(x)=－f(x+2)=f(x+2+2)=f(x+4),故周期T=4. ②设P(x,y)是图象上任意一点,则y=f(x),且P关于点(2k,0)对称的点为P1(4k-x,-y).P关于直线x=2k+1对称的点为P2(4k+2-x,y). ∵f(4k-x)=f(-x)=-f(x)=-y,∴点P1在图象上,图象关于点(2k,0)对称. 又f(x)是奇函数,f(x+2)=-f(x)=f(-x) ∴f(4k+2-x)=f(2-x)=f(x)=y, ∴点P2在图象上,图象关于直线2k+1对称. ③设1
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