类型 试 题 亮 点 解题方法/思想/素养 解析大题 证明直线过定点 用“设而要求”的方法求得点坐标，进而由两点写直线方程，证直线过定点； 考查了学生的运算能力 导数大题 讨论函数单调性； 讨论函数零点个数； 复合型函数与不等式恒成立问题 通过变量分离讨论方程根的个数； 不等式恒成立求参———先猜后证 1.解析大题 已知椭圆的离心率为， 为焦点是的抛物线上一点， 为直线上任一点， 分别为椭圆的上，下顶点，且三点的连线可以构成三角形. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆的另一交点分别交于点，求证：直线过定点. 【答案】(1) ;(2)见解析. 2.导数大题 已知函数. (Ⅰ)求函数的单调区间； (Ⅱ)试探究函数在定义域内是否存在零点，若存在，请指出有几个零点；若不存在，请说明理由； (Ⅲ)若,且在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）当时，函数的单调增区间为；当时，函数的单调增区间为,单调减区间为.（2）见解析（3） 【解析】试题分析：(Ⅰ)求出，分两种种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间， 求得的范围，可得函数的减区间；(Ⅱ)利用导数研究函数的单调性，结合函数图象可得：当时，函数有两个不同的零点；当时，函数有且仅有一个零点；当时，函数无零点；(Ⅲ)分两种情况讨论，当时，不合题意，当时，由(Ⅰ)知，函数在单调递增，则在恒成立， ，从而可得结果. 试题解析：(Ⅰ)由所以, ①当时，则有,函数在区间单调递增； ②当时， , 所以函数的单调增区间为,单调减区间为, 综合①②的当时，函数的单调增区间为； 当时，函数的单调增区间为,单调减区间为. (Ⅲ)由(Ⅱ)知当时， ,故对, 先分析法证明： , 要证， 只需证, 即证, 构造函数), 所以, 故函数在单调递增， , 则成立， ①当时，由(Ⅰ)知，函数在单调递增，则在恒成立， ②当时，由(Ⅰ)知，函数在单调递增，在单调递减， 故当时， ,所以,则不满足题意， 综合①②得，满足题意的实数的取值范围.
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