2017-2018学年浙教版八年级数学上册期末复习小专题（含答案）

小专题(一)　构造全等三角形的方法技巧　　　　　　　　　　　　　　　 方法1　利用“角平分线”构造全等三角形 　 因角平分线本身已经具备全等的三个条件中的两个(角相等和公共边相等)，故在处理角平分线问题时，常作以下辅助线构造全等三角形： (1)在角的两边截取两条相等的线段； (2)过角平分线上一点作角两边的垂线． 1．如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC＝AB＋CD. 证明：在BC上截取BF＝AB，连结EF. ∵∠ABC，∠BCD的平分线交AD于点E， ∴∠ABE＝∠FBE，∠BCE＝∠DCE. 在△ABE和△FBE中， ∴△ABE≌△FBE(SAS)． ∴∠BAE＝∠BFE. ∵AB∥CD， ∴∠BAE＋∠CDE＝180°. ∴∠BFE＋∠CDE＝180°. ∵∠BFE＋∠CFE＝180°， ∴∠CFE＝∠CDE. 在△FCE和△DCE中， ∴△FCE≌△DCE(AAS)． ∴CF＝CD. ∴BC＝BF＋CF＝AB＋CD. 2．如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D，求证：PC＝PD. 证明：过点P作PE⊥OA于点E， PF⊥OB于点F. ∴∠PEC＝∠PFD＝90°. ∵OM是∠AOB的平分线． ∴PE＝PF. ∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°， ∴∠PCE＋∠PDO＝360°－90°－90°＝180°. ∵∠PDO＋∠PDF＝180°， ∴∠PCE＝∠PDF. 在△PCE和△PDF中， ∴△PCE≌△PDF(AAS)． ∴PC＝PD. 方法2　利用“截长补短法”构造全等三角形 　 截长补短法的具体做法：在某一条线段上截取一条线段与特定线段相等，或将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种方法适用于证明线段的和、差、倍、分等题目． 3．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD，CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并加以证明． 解：BC＝BE＋CD. 证明：在BC上截取BF＝BE，连结OF. ∵BD平分∠ABC， ∴∠EBO＝∠FBO. 又∵BO＝BO， ∴△EBO≌△FBO(SAS)． ∴∠EOB＝∠FOB. ∵∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－(180°－∠A)＝120°. ∴∠EOB＝∠DOC＝60°. ∴∠BOF＝60°，∠FOC＝∠DOC＝60°. ∵CE平分∠DCB，∴∠DCO＝∠FCO. 又∵CO＝CO，∴△DCO≌△FCO(ASA)． ∴CD＝CF.∴BC＝BF＋CF＝BE＋CD. 4．(德州中考)问题背景： 如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°.点E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系． (1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG.先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是EF＝BE＋DF； (2)如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°.E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 解：EF＝BE＋DF仍然成立． 证明：延长FD到G，使DG＝BE，连结AG， ∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠ADG＝180°， ∴∠B＝∠ADG. 在△ABE和△ADG中， ∴△ABE≌△ADG(SAS)． ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG. ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝∠EAF. ∴∠EAF＝∠GAF. 在△AEF和△AGF中， ∴△AEF≌△AGF(SAS)．∴EF＝FG. ∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF. 方法3　利用“倍长中线法”构造全等三角形 　 将中点处的线段延长一倍，然后利用SAS证三角形全等． 5．已知：如图，AD，AE分别是△ABC和△ABD的中线，且BA＝BD.求证：AE＝AC. 证明：延长AE至F，使EF＝AE，连结DF. ∵AE是△ABD的中线， ∴BE＝DE. 又∵∠AEB＝∠FED， ∴△ABE≌△FDE(SAS)． ∴∠B＝∠BDF，AB＝DF. ∵BA＝BD， ∴∠BAD＝∠BDA，BD＝DF. ∵∠ADF＝∠BDA＋∠BDF，∠ADC＝∠BAD＋∠B， ∴∠ADF＝∠ADC. ∵A ... ...