2017-2018学年浙教版八年级数学上册期末复习(二)特殊三角形（答案版)

2017-2018学年浙教版八年级数学上册期末复习(二)特殊三角形 知识结构图 重难点突破 重难点1　等腰(边)三角形的性质及判定 【例1】　(杭州萧山期中)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC. (1)若AC＝BC，∠B∶∠C＝2∶1，试写出图中的所有等腰三角形，并给予证明； (2)若AB＋BD＝AC，求∠B∶∠C的比值． 【思路点拨】　(1)根据等腰三角形的定义及“等角对等边”判定等腰三角形；(2)利用“截长法”或“补短法”添加辅助线，将AC－AB或AB＋BD转化成一条线段，通过全等得到线段相等，从而得到角相等． 解：(1)等腰三角形有3个：△ABC，△ABD，△ADC， 证明：∵AC＝BC， ∴△ABC是等腰三角形． ∴∠B＝∠BAC. ∵∠B∶∠C＝2∶1，∠B＋∠BAC＋∠C＝180°， ∴∠B＝∠BAC＝72°，∠C＝36°. ∵∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝36°， ∴∠B＝∠ADB＝72°，∠DAC＝∠C＝36°. ∴AB＝AD，DA＝DC. ∴△ABD和△ADC是等腰三角形． (2)在AC上截取AE＝AB，连结DE， 又∵∠BAD＝∠DAE，AD＝AD， ∴△ABD≌△AED. ∴∠AED＝∠B，BD＝DE. ∵AB＋BD＝AC，AC＝AE＋EC， ∴BD＝EC. ∴DE＝EC. ∴∠EDC＝∠C. ∴∠B＝∠AED＝∠EDC＋∠C＝2∠C. ∴∠B∶∠C＝2∶1. 1．(上城区期中)如图，△ABC，△ADE中，C，D两点分别在AE，AB上，BC与DE相交于点F.若BD＝CD＝CE，∠ADC＋∠ACD＝104°，则∠DFC的度数为(C) A．104° B．118° C．128° D．136° 2．如图1，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，BD平分∠ABC. (1)求证：AD＝DC； (2)如图2，在上述条件下，若∠A＝∠ABC＝60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E，F，连结EF.判断△DEF的形状并证明你的结论． 解：(1)证明：∵DC∥AB， ∴∠CDB＝∠ABD. 又∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝∠ABD. ∴∠CDB＝∠CBD. ∴BC＝DC. 又∵AD＝BC， ∴AD＝DC. (2)△DEF为等边三角形． 证明：∵BC＝DC(已证)，CF⊥BD， ∴点F是BD的中点． ∵∠DEB＝90°，∴EF＝DF＝BF. ∵∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，∠BDE＝60°. ∴△DEF为等边三角形． 重难点2　直角三角形的性质及判定 【例2】　在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，∠AEF＝∠AFE. (1)求证：AD⊥BC(请用一对互逆命题进行证明)； (2)写出你所用到的这对互逆命题． 【思路点拨】　由“直角三角形的两个锐角互余”得到∠ABF＋∠AFB＝90°，又因为∠ABF＝∠CBF，∠AEF＝∠BED，从而转化为∠CBF＋∠BED＝90°，从而AD⊥BC得证． 解：(1)证明：在Rt△ABC中， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABF＋∠AFB＝90°. ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBF. ∵∠AEF＝∠AFE， ∠BED＝∠AEF， ∴∠BED＝∠AFE. ∴∠CBF＋∠BED＝90°. ∴∠BDE＝90°. ∴AD⊥BC. (2)互逆命题：直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形． 3．(庆元月考)已知，如图，B，C，D三点共线，AB⊥BD，ED⊥CD，C是BD上的一点，且AB＝CD，∠1＝∠2，请判断△ACE的形状并说明理由． 解：△ACE是等腰直角三角形，理由：∵∠1＝∠2， ∴AC＝CE. ∵AB⊥BD，ED⊥CD， ∴∠B＝∠D＝90°. 在Rt△ABC和Rt△CDE中， ∴Rt△ABC≌Rt△CDE. ∴∠ACB＝∠CED. ∵∠CED＋∠ECD＝90°， ∴∠ACB＋∠ECD＝90°. ∴∠ACE＝90°. ∴△ACE是等腰直角三角形． 重难点3　勾股定理及其逆定理 【例3】　如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC的中点，作∠ADB的平分线DE交AB于点E. (1)求证：DE∥BC； (2)若AE＝3，AD＝5，点P为线段BC上的一动点，当BP为何值时，△DEP为等腰三角形？请求出所有BP的值． 【思路点拨】　(1)要证DE∥BC，可转化为证∠AED＝∠ABC＝90°，即证DE⊥AB，由等腰三角形“三线合一”的性质可推导得出；(2)△DEP为等腰三角形，存在三种情况：DE＝EP，DP＝EP，DE＝DP，结合勾股定理可求得BP的值． 解：(1)证明：∵∠ABC＝90° ... ...