龙岩市2018年高中毕业班教学质量检查 数学（文科）参考答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 C D D A A C B D D B B A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．7 14． 15． 16． 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由，可得， ∴，∴. ……………………1分 又，∴，∴. ∵数列是等比数列，∴公比，…………3分 ∴数列的通项公式为.（5分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，（6分） ∴数列的前项和 ＝………………12分 （分组求和，求对一个和得3分） 18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）记事件“获得台历的三人中至少有一人的红包超过5元”为事件M，5名顾客中红包超过5元的两人分别记为，不足5元的三人分别记为，从这5名顾客中随机抽取3人，共有抽取情况如下： ，共10种. ……………4分 其中至少有一人的红包超过5元的是前9种情况， 所以. ………………6分 （Ⅱ）（ⅰ）根据散点图可判断，选择作为每天的净利润的回归方程类型比较适合. ………………7分 （ⅱ）由最小二乘法求得系数 ，（9分） 所以 ……………………10分 所以关于的回归方程为.（11分） 当时，商家当天的净利润元， 故使用支付宝付款的人数增加到35时，预计商家当天的净利润为352元.（12分） 19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）证明：∵平面，∴. …………1分 又平面，∴， …………2分 又，∴平面.（3分） 又，∴平面， ∴ ………………4分 ∵平面，平面， ∴平面. ………………6分 （Ⅱ）取的中点，连接. ∵为正三角形，∴， ∵平面平面，且平面∩平面， ∴平面. 又平面，∴. 又，∴， ∴平面，即. ………………8分 ∵平面，∴，且， ∴四边形为矩形，∴， …………………10分 ∴， 故四面体的体积为. ………………12分 20．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率，又， ∴，∴. ……………………2分 又点在椭圆上，∴， 即，∴，则， ∴椭圆的方程为. ………………4分 （Ⅱ）当直线的斜率存在且不为0时， 设其方程为， ∵分别为椭圆上的两点，且， 即，∴直线的方程为. 设， 把代入椭圆：， 得，∴，………………6分 同理，∴，………………8分 ∴ ………………10分 当直线中的一条直线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率为0， 此时. ………………11分 综上所述，为定值. ………………12分 21．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由，得： 设函数 当时，即时，，， 所以函数在上单调递增. 当时，即时， 令得，， 当时，即时，在上，，; 在上，，. 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. 当时，即时，在上，，; 在上，，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在，上单调递增， 在上单调递减； 当时，函数在上单调递减， 在上单调递增. ………………5分 （Ⅱ）证明：∵函数有两个极值点，且， ∴有两个不同的正根， ∴ ∴. …………………………6分 欲证明，即证明， ∵， ∴证明成立，等价于证明成立. ……8分 ∵，∴. …………9分 设函数， 求导可得. ……………………10分 易知在上恒成立， 即在上单调递增， ∴，即在上恒成立， ∴函数有两个极值点，且时，. …………12分 22．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）将 代入圆的极坐标方程， 得， 化为圆的标准方程为. …………………………4分 （Ⅱ）将直线的参数方程（为参数） 代入圆的直角坐标方程中，化简得， 设两点所对应的参数分别为， 由韦达定理知① ………………7分 ∴同号 又∵， ∴② 由①②可知或 ∴或解得，∴，（9 ... ...
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