复习课(一) 导数及其应用(部分) 导数的概念及几何意义的应用 (1)近几年的高考中，导数的几何意义和切线问题是常考内容，各种题型均有可能出现． (2)利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点． (1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)； (2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k； (3)已知过某点M(x1，f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0))，利用k＝求解．21cnjy.com [典例] (全国卷Ⅱ)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是_____．2-1-c-n-j-y [解析] 设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝ex－1＋x. ∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)， ∴f(x)＝ex－1＋x. ∵当x＞0时，f′(x)＝ex－1＋1， ∴f′(1)＝e1－1＋1＝1＋1＝2. ∴曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0. [答案] 2x－y＝0 [类题通法] (1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 ①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数． ②如果已知点不是切点，则应先出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． (2)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，例如，y＝x3在(1,1)处的切线l与y＝x3的图象还有一个交点(－2，－8)．【21教育】 1．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1 C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2 解析：选A ∵y′＝＝， ∴k＝y′|x＝－1＝＝2， ∴切线方程为：y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1. 2．已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝_____. 解析：∵y＝x＋ln x，∴y′＝1＋， y′＝2. ∴曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线方程为 y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. 法一：∵y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切， ∴a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行)． 由 消去y，得ax2＋ax＋2＝0. 由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8. 法二：设y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切于点(x0，ax＋(a＋2)x0＋1)． ∵y′＝2ax＋(a＋2)， ∴y′＝2ax0＋(a＋2)． 由解得 答案：8 导数与函数的单调性 (1)题型既有选择题、填空题也有解答题，若以选择题、填空题的形式出现，则难度以中、低档为主，若以解答题形式出现，难度则以中等偏上为主，主要考查求函数的单调区间、证明或判断函数的单调性等问题。21教育网 (2)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间． 特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接． 函数的单调性与导函数值的关系 若函数f(x)在(a，b)内可导，则f′(x)在(a，b)任意子区间内部不恒等于0. f′(x)＞0?函数f(x)在(a，b)上单调递增； f′(x)＜0?函数f(x)在(a，b)上单调递减． 反之，函数f(x)在(a，b)上单调递增?f′(x)≥0；函数f(x)在(a，b)上单调递减?f′(x)≤0.即f′(x)＞0(f′(x)＜0)是f(x)为增(减)函数的充分不必要条件． [典例] 已知函数f(x)＝x＋＋b(x≠0)，其中a，b∈R. (1)若曲线y＝f(x)在点P(2，f(2))处的切线方程为y＝3x＋1，求函数f(x)的解析式； (2)讨论函数f(x)的单调性并求出单调区间． [解] f′(x)＝1－. (1)由导数的几何意义得f′(2)＝3，即1－＝3， ∴a＝－8. 由切点P(2，f(2))在直线y＝3x＋1上， 得f(2)＝3×2＋1＝7，则－2＋b＝7，解得b＝9， ∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x－＋9(x≠0)． (2)当a≤0时，显然f′(x)＞0(x≠0)， 这时f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数． 当a＞0时，由f′(x)＝0，解得x＝±. 当x＜－或x＞时，f′(x)＞0； 当－＜x＜0或0＜x＜ ... ...
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