北京师大附中2017-2018学年高一下学期期中考试数学试卷

北京师大附中2017-2018学年下学期高一年级期中考试数学试卷 本试卷共150分，考试时间120分钟。 一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1. 在△ABC中，D是边BC的中点，则＝ A. B. C. D. 2. 在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝150°，则△ABC的面积为 A. 3 B. C. 6 D. 3. 下图是500名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图，则这500名学生中测试成绩在区间[90，100）中的学生人数是 A. 60 B. 55 C. 45 D. 50 4. 已知点A（1，2），B（3，7），向量∥a，则 A. ，且与a方向相同 B. ，且与a方向相同 C. ，且与a方向相反 D. ，且与a方向相反 5. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为。若，则角B的大小为 A. B. C. 或 D. 或 6. 已知在△ABC中，，则＝ A. B. C. D. 7. 抛掷两颗骰子，点数之积为大于15的偶数的概率是 A. B. C. D. 8. 从高一年级随机选取100名学生，对他们的期末考试的数学和语文成绩进行分析，成绩如图所示。 若用分别表示这100名学生语文，数学成绩的及格率，用分别表示这100名学生语文、数学成绩的方差，则下列结论正确的是 A. B. C. D. 二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。 9. 在△ABC中，角A，B，C所对边分别为，且，则C＝_____。 10. 下侧茎叶图记录了在某项体育比赛中，九位裁判为一名选手打出的分数情况，则去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值为_____，方差为_____。 11. 已知正方形ABCD的边长为1，设，则＝_____。 12. 袋中有大小相同的黑球和白球各1个，每次从袋中抽取1个，有放回的随机抽取3次，则至少抽到1个黑球的概率是_____。 13. 设向量，则满足a、b的夹角为的一个向量b的坐标可以是_____。 14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，∠，设∠AOB＝，则OA＝_____（用表示）；若，则＝_____。 三、解答题：共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，设。 （Ⅰ）若，求b的值； （Ⅱ）求tanC的值。 16. 已知向量。 （Ⅰ）若a⊥，求实数t的值； （Ⅱ）若向量，且，求的最小值。 17. 某中学从高三男生中随机抽取100名学生，将他们的身高数据进行整理，得到下侧的频率分布表。 组号 分组 频率 第1组 [160，165） 0.05 第2组 0.35 第3组 0.3 第4组 0.2 第5组 0.1 合计 1.00 （Ⅰ）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行体能测试，问第3，4，5组每组各应抽取多少名学生进行测试； （Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求第3组中至少有一名学生被抽中的概率； （Ⅲ）试估计该中学高三年级男生身高的中位数位于第几组中，并说明理由。 18. 已知在锐角△ABC中， （Ⅰ）求角B； （Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值。 19. 设向量 （Ⅰ）若，求x 的值； （Ⅱ）设函数，求的最值。 20. 已知集合…，…，，对于…，，B＝（…，，定义A与B的差为 …，A与B之间的距离为。 （Ⅰ）若，求； （Ⅱ）证明：对任意，有 （i），且； （ii）三个数中至少有一个是偶数； （Ⅲ）对于……，再定义一种A与B之间的运算，并写出两条该运算满足的性质（不需证明）。 【试题答案】 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D D C B A C 二、填空题 9. ； 10. 91，4.7； 11. 2 12. ； 13. 14. ；。 三、解答题 15.（Ⅰ）解：因为，由正弦定理， 得。 由余弦定理及， 得，所以， 解得。 （Ⅱ）解：由，得， 所以， 即， 所以，所以。 16.（Ⅰ）－1；（Ⅱ）。 17. 解：（Ⅰ）因为第3，4，5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组学生人数分别为： 第3组：＝3人 ... ...