第三章 三角恒等变换 单元测试（含解析）

第三章学业质量标准检测 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题　共60分) 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1．若tanα＝3，tanβ＝，则tan(α－β)等于 (　D　) A．－3 B．－ C．3 D． [解析]　tan(α－β)＝＝＝. 2．cos275°＋cos215°＋cos75°·cos15°的值是 (　A　) A． B． C． D．1＋ [解析]　原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°＝1＋sin30°＝. 3．已知sin(－x)＝，则sin2x的值为 (　D　) A． B． C． D． [解析]　sin2x＝cos(－2x) ＝cos2(－x)＝1－2sin2(－x) ＝1－2×()2＝. 4．已知点P(cosα，sinα)，Q(cosβ，sinβ)，则||的最大值是 (　B　) A． B．2 C．4 D． [解析]　＝(cosβ－cosα，sinβ－sinα)， 则||＝ ＝，故||的最大值为2. 5.＝ (　B　) A． B．－ C．－1 D．1 [解析]　原式＝＝＝－. 6．若θ∈[，]，sin2θ＝，则cosθ＝ (　C　) A． B．－ C． D． [解析]　∵2θ∈[，π]，cos2θ＝－，∴2cos2θ－1＝－，解得cosθ＝. 7．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则log()2等于 (　C　) A．2 B．3 C．4 D．5 [解析]　由sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝得 ，∴， ∴＝5， ∴log()2＝log52＝4. 8．若＝，则tan2α＝ (　B　) A．－ B． C．－ D． [解析]　本题考查三角恒等变换，“弦”化“切”．由＝得＝即2tanα＋2＝tanα－1， ∴tanα＝－3，∴tan2α＝＝＝＝，“弦”化“切”，“切”化“弦”都体现了转化与化归思想． 9．y＝sin(2x－)－sin2x的一个单调递增区间是 (　B　) A．[－，] B．[，π] C．[π，π] D．[，] [解析]　y＝sin(2x－)－sin2x＝sin2xcos－cos2xsin－sin2x＝－(sin2xcos＋cos2xsin)＝－sin(2x＋)，其增区间是函数y＝sin(2x＋)的减区间，即2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，∴kπ＋≤x≤kπ＋，当k＝0时，x∈[，]． 10．若tanα＝2tan，则 ＝ (　C　) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　＝ ＝＝ ＝ ＝＝＝3，故选C． 11．将函数f(x)＝sin2xsin＋cos2xcos－sin(＋)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，则函数g(x)在[0，]上的最大值和最小值分别为 (　C　) A．，－ B．，－ C．，－ D．， [解析]　f(x)＝×sin2x＋cos2x－sin＝sin2x＋cos2x－＝sin2x＋×－＝sin(2x＋)， 所以g(x)＝sin(4x＋)．因为x∈[0，]，所以4x＋∈[，]，所以当4x＋＝，即x＝时，g(x)取得最大值；当4x＋＝，即x＝时，g(x)取得最小值－. 12．已知A、B、C是△ABC的三个内角，设f(B)＝4sinB·cos2(－)＋cos2B，若f(B)－m<2恒成立，则实数m的取值范围是 (　D　) A．m<1 B．m>－3 C．m<3 D．m>1 [解析]　f(B)＝4sinBcos2(－)＋cos2B ＝4sinB＋cos2B ＝2sinB(1＋sinB)＋(1－2sin2B) ＝2sinB＋1. ∵f(B)－m<2恒成立，即m>2sinB－1恒成立． ∵01. 第Ⅱ卷(非选择题　共90分) 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．化简·＝　　. [解析]　原式＝tan(90°－2α)·＝cot2α·tan2α＝. 14．已知α∈(，π)，且sinα＝，则sin2＋的值为　－　. [解析]　cosα＝－，原式＝＋＝＋sin2α＝－. 15．已知A，B，C皆为锐角，且tanA＝1，tanB＝2，tanC＝3，则A＋B＋C的值为__π__. [解析]　∵tanB＝2，tanC＝3 ∴tan(B＋C)＝＝＝－1. 又B、C皆为锐角，∴B＋C∈(0，π) ∴B＋C＝π，又tanA＝1，A为锐角，∴A＝，∴A＋B＋C＝π. 16．给出下列四个命题： ①函数y＝2sin(2x－)的一条对称轴是x＝； ②函数y＝tanx的图象关于点(，0)对称； ③正弦函数在第一象限内为增函数； ④存在实数α，使si ... ...