解答题 1. 在数列中，，，设. （1）证明：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前项和. 【答案】（1）详见解析；（2） （3）由得： ..........①. ...........② ①———得： 所以，． 2. 设数列{an}的前n项和为Sn．已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*． (1)求通项公式an; (2)求数列{|an-n-2|}的前n项和． 【答案】 (1)由题意得则 又当n≥2时,由an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an,得an+1=3an, 所以数列{an}是以1为首项,公比为3的等比数列,所以an=3n-1,n∈N*． (2)设bn=|3n-1-n-2|,n∈N*,b1=2,b2=1, 当n≥3时,由于3n-1>n+2,故bn=3n-1-n-2,n≥3, 设数列{bn}的前n项和为Tn,则T1=2,T2=3, 当n≥3时,Tn=3+,当n=2时,也适合上式．所以Tn= 3. 已知数列的前项和为，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2） (2)由题意， 当时， 当时, 4. 已知数列中，. （1）证明：是等比数列； （2）当是奇数时，证明：； （3）证明：. 【答案】(1)见解析. (2)见解析. (3)见解析. (2)由（1）可知故． 当是奇数时， ． (3)由（2）可知， 当为偶数时，， ∴ ． 当为奇数时，，且， ∴ ． 综上可得． 5. 已知数列中，，对任意的，都有 （1）证明：数列成等比数列，成等比数列，其中； （2）记数列的前项和为，求． 【答案】（1）见解析；（2） （2），， ， 6. 已知等差数列的首项为1，公差为，数列的前项和为，且对任意的，恒成立． （1）如果数列是等差数列，证明数列也是等差数列； （2）如果数列为等比数列，求的值； （3）如果，数列的首项为1，，证明数列中存在无穷多项可表示为数列中的两项之和． 【答案】(1)见解析. (2) 或． (3)见解析. （2）由③得，即， 所以是与n无关的常数， 所以或为常数． ①当时，，符合题意； ②当为常数时， 在中令，则，又，解得， 所以， 此时，解得． 综上，或． （3）当时，， 由（2）得数列是以为首项，公比为3的等比数列，所以，即． 当时，， 所以，则，即． 所以数列中存在无穷多项可表示为数列中的两项之和． 7. 已知数列的前项和满足，且，数列满足，，其前9项和为36． (1)求数列和的通项公式； (2)当为奇数时，将放在的前面一项的位置上；当为偶数时，将放在前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：，求该数列的前项和； (3)设，对于任意给定的正整数，是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出(用表示)；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），（2）（3）当时，存在正整数，满足，且使得成等差数列． 设的前项和为，由于，则，由于， 所以． (2)数列的前n项和，数列的前项和． 当时，； 当时， ；- 当时， ；- 所以，其中．-- (3)由(1)可知，. 若对于任意给定的正整数，存在正整数，使得成等差数列，则，即，-- 于是， 所以 ，即，-- 则对任意的，能整除，且. 若，则，矛盾，舍去；- 若，则，于是，矛盾． 综上，当时，存在正整数，满足，且使得成等差数列． 8.在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，其前项和为，且，． （1）求数列和数列的通项； （2）问是否存在正整数，，，使得成立？如果存在，请求出，，的关系式；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）当为大于的奇数时，，；当为偶数时，不存在． 【解析】 设等差数列的公差为，则[ …………………………2分[ 解得，．…………………………4分 所以，．…………………………6分 ②当时，设，，则……………12分 若为偶数，设，，则， 因为，所以．…………………………14分 综上所述，只有当为大于的奇数时，，． 当为偶数时，不存在．…………………………16分 9.若数列中不超过的项数恰为（），则称数列是数列的生成数列，称相应的 函数是数列生成的控制函数. ... ...
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