解答题 1．已知，. （1）若，求的值； （2）若，求的值； （3）若是展开式中所有无理项的二项式系数和，数列是各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明:. 【答案】（1）. （2）165.（3）见解析. （3）因为，所以要得无理项，必为奇数， 所以， 要证明， 只要证明，用数学归纳法证明如下： （Ⅰ）当时，左边=右边， 当时，， ∴时，不等式成立. （Ⅱ）假设当 时，成立， 则时，（*） ∵， ∴结合（*）得：成立， ∴时，不等式成立. 综合（Ⅰ）（Ⅱ）可知对一切均成立. ∴不等式成立 . 2．设Sn为数列{an}的前n项和，满足Sn＝2an－2 (n∈N*) （1）求的值，并由此猜想数列{an}的通项公式an； （2）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想． 【答案】（1）；（2）见解析. (2)证明：①当n＝1时，a1＝2，猜想成立． ②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，猜想成立，即， 那么n＝k＋1时， ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2ak＋1－2ak ∴ak＋1=2ak， 这表明n＝k＋1时，猜想成立， 由①②知猜想 成立． 3．已知数列满足：，. （Ⅰ）试求数列，，的值； （Ⅱ）请猜想的通项公式，并运用数学归纳法证明之. 【答案】（Ⅰ） ， ， . （Ⅱ），证明见解析. 假设时，结论成立，即有， 则对于时， ∴当时，结论成立. 综上，可得对， 成立 4．已知数列满足： . 证明：当时， （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 （2）由 得 设 则 由于与在上单调递增， 所以 故在上单调递增，所以 所以 即 （3）由（2）得，则 所以 又，所以，所以，故 所以，所以 5．已知数列中，且. （1）求，，； （2）根据（1）的结果猜想出的一个通项公式，并用数学归纳法进行证明； （3）若，且，求. 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）. （2）由此猜想. 下面用数学归纳法加以证明： ①当时，由（1）知成立； ②假设，结论成立，即成立. 则当时，有，即 即时，结论也成立； 由①②可知，的通项公式为. 6．观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此规律下去 （1）写出第5个等式； （2）你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明你的猜想． 【答案】（1）5+6+7+…+13=81（2）见解析 【解析】 （1）第5个等式 5+6+7+…+13=81 （2）猜测第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…（3n﹣2）=（2n﹣1）2 证明：（1）当n=1时显然成立； （2）假设n=k（k≥1，k∈N+）时也成立， 即有k+（k+1）+（k+2）+…（3k﹣2）=（2k﹣1）2…（8分） 那么当n=k+1时左边=（k+1）+（k+2）+…+（3k﹣2）+（3k﹣1）+（3k）+（3k+1） =k+（k+1）+（k+2）+…+（3k﹣2）+（2k﹣1）+3k+3k+1 =（2k﹣1）2+（2k﹣1）+（3k）+（3k+1） =4k2﹣4k+1+8k=（2k+1）2=[2（k+1）﹣1]2 而右边=[2（k+1）﹣1]2 这就是说n=k+1时等式也成立． 根据（1）（2）知，等式对任何n∈N+都成立． 7．将正整数作如下分组:，，，， ，，.分别计算各组包含的正整数的和 如下， ， ， ， ， ， ， (1)求的值； (2)由,,,的值，试猜 测的结果，并用数学归纳法证明. 【答案】(1)175. (2) =,证明见解析. 【解析】 (1) (2) 猜测= 事实上，有题设可知 . 所以10分 所以 从而， 所以猜想在n=k+1时也成立. 综合（1）（2）可知猜想对任何. 8．（1）已知，比较和的大小并给出解答过程； （2）证明：对任意的，不等式成立. 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 (1)：. 由条件= ，， . （2）：证法一 证明：由（1）所得结论得 = 两边开方，命题得证. 证法二 下面用数学归纳法证明不等式成立. ①当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立. ②假设当时不等式成立,即成立. 则当时,左边 所以当时,不等式也成立. 由①、②可得不等式恒成立. . 9．已知数列中，且. （1）求，，； （2）根据（1）的结果猜想出 ... ...
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