【九年级上册同步讲义】10 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质满分冲刺学案（教师版＋学生版）

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 【经典例题】 知识点一 二次函数与之间的关系 【例1】分别根据配方法和顶点坐标公式确定下列二次函数的对称轴和顶点坐标． ①（配方法）；②（公式法） 【分析】①根据配方法整理成顶点式形式，然后写出对称轴和顶点坐标即可； ②写出a、b、c，然后利用求根公式法求出顶点的横坐标与纵坐标 【解答】解：① ＝ ＝ 对称轴为：直线x＝1；顶点坐标为（1，－3）； ② a＝－3，b＝6，c＝－2 对称轴为：直线x＝1；顶点坐标为（1，1）． 知识点二 二次函数的图象与性质 【例2】已知抛物线 （1）求该抛物线的对称轴、顶点坐标以及y随x变化情况； （2）在如图的直角坐标系内画出该抛物线的图象． 【分析】（1）根据对称轴是，顶点坐标是以及二次函数的增减性，可得答案； （2）先列表，再描点连线，可得函数图象． 【解答】（1）∵ 而对称轴是方程，顶点坐标是 ∴对称轴是x＝1，顶点坐标是（1，3）． ∵a＝－1＜0，开口向下， ∴当x＜1时，y随x的增大而增大；x＞1时，y随x的增大而减小； （2）列表如下： 【例3】已知一次函数，二次函数（其中m＞4） （1）求二次函数图象的顶点坐标（用含m的代数式表示）； （2）利用函数图象解决下列问题： ①若m＝5，求当y1＞0且y2≤0时，自变量x的取值范围； ②如果满足y1＞0且y2≤0时自变量x的取值范围内有且只有一个整数，直接写出m的取值范围． 【分析】（1）利用配方法求二次函数的顶点坐标； （2）①把m＝5代入y2，画图象，并求与x轴交点A、B、C三点的坐标，根据图象可得结论； ②根据题意结合图象可知x＝3，把x＝3代入，当x＝4时，，即可求得m的取值； 【解答】（1）∵ ∴二次函数图象的顶点坐标为： （2）①当m＝5时，， 如图，当y1＝0时，，x＝2， ∵A（2，0）， 当y2＝0时， 解得：x＝1或4， ∴B（1，0），C（4，0）， 因为y1＞0，且y2≤0，由图象，得：2＜x≤4． ②当y1＞0时，自变量x的取值范围：x＞2， ∵如果满足y1＞0且y2≤0时的自变量x的取值范围内恰有一个整数， ∴x＝3， 当x＝3时， 解得 当x＝4时，y2＞0，即16－4m＋4＞0，m＜5， ∴m的取值范围是： 知识点三 求二次函数最值的方法 【例4】已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ 　　） A．有最大值 2，有最小值－2.5 B．有最大值 2，有最小值 1.5 C．有最大值 1.5，有最小值－2.5 D．有最大值 2，无最小值 【分析】直接利用利用函数图象得出函数的最值． 【解答】∵二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内， ∴x＝1时，有最大值 2，x＝4时，有最小值－2.5． 故选：A． 【例5】当－2≤x≤2时，求函数的最大值和最小值 【分析】由二次函数解析式可求得其对称轴为x＝1，再利用二次函数的增减性可分别求得当－2≤x≤1和1＜x≤2上的最大值，可求得答案． 【解答】解：∵ ∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1， ∴当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大， ∴当－2≤x≤1时， 当x＝－2时，y有最大值， 当x＝1时，y有最小值，y＝－4， ∴当1≤x≤2时， 当x＝2时，y有最大值，y＝－1， 当x＝1时，y有最小值，y＝－4， ∴当－2≤x≤2时，求函数的最大值为5，最小值为－4 知识点四 用待定系数法求二次函数解析式 【例6】已知抛物线经过点A（1，0），B（－1，0），C（0，－2）．求此抛物线的函数解析式和顶点坐标． 【分析】将各点代入抛物线解析式，利用待定系数法求出a，b，c的值即可．把函数的解析式化成顶点式即可求得． 【解答】解：把点A（1，0）、B（－1，0）、C（0，－2）的坐标 分别代入，得 解得 ∴二次函数的解析式为，顶点坐标为（0，－2） 【 ... ...