華羅庚金杯少年數學邀請賽 2018 年香港賽區決賽 中二組試卷 日期：2018 年 3 月 10 日 一小時三十分鐘完卷 (上午 10:00 至上午 11:30) 比賽須知： 1. 全卷共 14 題，滿分 150 分。包括填空題 8 道，每題 10 分；簡答題 4 道，每題 10 分；詳答題 2 道，每題 15 分。 2. 參賽學生必須全部作答，所有答案寫在答題紙上。 3. 填空題無需書寫步驟，只須填寫答案；簡答題要求寫出簡要過程；詳答題要求寫出 詳細過程。 4. 比賽時使用自備文具，例如鉛筆、原子筆及橡皮擦膠等。不准使用計算器。違規者 將被取消比賽資格。 5. 完卷後收回所有題目，答題紙及草稿紙。 6. 參賽學生在本試題和答題紙上填寫以下資料：座位編號、學生姓名、及學校名稱。 (可依照參賽資格確認信列印的資料填寫) 座位編號 學生姓名 學校名稱 本試卷共設 14 題，全部試題均須作答，所有答案寫在答題紙上。 一、 填空題（每小題 10 分, 共 80 分） 1. 已知 a (( 1，則 a2015 ( 2a2014( 2a2013 的值是（ ）。 2. 如 圖 ， 圓 周 上 順 時 針 排 列 有 n 個 互 不 相 同 的 有 理 數 ， 滿 足 ai ( ai (1 ( ai (1 (i ( 2, 3, 4,K ) 且 an( an(1 ( a1 。則 n =（ ）。 3. 甲、乙和丙三個車隊於某日共行駛了 21600 公里，其中甲車隊每輛車平均行駛了 325 公里， 乙車隊每輛車平均行駛了 250 公里，丙車隊每輛車平均行駛了 150 公里。已知丙車隊車輛恰 好是甲乙兩個車隊車輛總數的三分之一，問丙車隊最多有車（ ）輛。 4. 在 1~10000 的自然數中，既不是完全平方數也不是完全立方數的整數的個數為（ ）。 5. 在直線 l 上有 2014 個不同的黃點，標出以這些黃點為端點的線段的中點，並將這些中點都染 成紅色（若中點恰是黃點，則該黃點要改染為紅點）。設染成紅色的點至多有 m 個，至少有 n 個，則 m =（ ），n =（ ）。 6. 質數 p > 5，則 336 除7 p4 ( 5的餘數是（ ）。 7. 如圖，在直角△ ABC 中， (C ( 900， AC ( 6, BC( 4 。 P 是△ ABC 內一點，滿足 (APC ( 90，則 BP 的最小值為（ ）。 8. 實數 a, b, c 滿足a ( b ( c ( 1且 a2( b2( c2( a3 ( b3 ( c3 ，則 a2 (b ( c) ( b2 (c ( a) ( c2 (a ( b) (（ ）。 二、解答下列各題（每題 10 分，共 40 分，要求寫出簡要過程） 9. 已知： 3x ( 2 y ( 7, 2x ( 3y ( 2 ，則x ( y的最大值為多少？ 10. 平面上有 2015 條直線，任意兩條要麼垂直，要麼平行。那麼它們間最多可以形成多少個直 角？ 11. 把 15 個相同的棋子放入 5 ( 5 的網格中，每個網格最多放一個，每行每列恰 有 3 個棋子，共有多少種不同放法（不考慮旋轉）？ 12. 從 1 至 25 的正整數中任取 a 個互不相同的數，其中必定存在兩個，小的比上大的比值小於 2/5，則 a 的最小值是多少？ 三、 解答下列各題（每小題 15 分，共 30 分，要求寫出詳細過程） 13. 在凸四邊形 ABCD 中，(BAD = 60 ，點 A1 和 A2 分別關於直線 CB 和 CD 與點 A 對稱。如果已知點 A1，A2，B 和 D 在一條直線上，則 (BCD 等於 多少？ 14. 二次三項式x2 ( ax ( 6a可以分解因式成 ( x ( u)( x ( v) 。 若 u，v 都是整數，求 a 的所 有值。 -- 全卷完 -- ... ...
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