21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 弧、弦、圆心角 【经典例题】 知识点一 利用“弧、弦、圆心角之间的关系定理”进行计算 【例1】如图，在⊙O中，AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度数． 【分析】根据圆心角的性质和等式的性质解答即可． 【解答】解：∵在⊙O中，AC=BD， ∴∠AOC＝∠BOD， ∴∠1＋∠BOC＝∠2＋∠BOC， ∴∠1＝∠2＝30°． 知识点二 利用“弧、弦、圆心角之间的关系定理”进行证明 【例2】已知：如图，MN、PQ是⊙O的两条弦，且QN＝MP，求证：MN＝PQ． 【分析】圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 【解答】证明：∵QN＝MP， ∴＝ ∴＋＝＋ 即＝ ∴MN＝PQ 知识点三 利用弧、弦、圆心角之间的关系与垂径定理的综合运用 【例3】如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC＝BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N在⊙O上，求证：＝ 【分析】连结OM、ON，证明Rt△OMC≌Rt△OND，根据全等三角形的性质得到∠COM＝∠DON，根据圆心角、弧、弦的关系定理证明． 【解答】证明：连结OM、ON， ∵AB是⊙O的直径，C、D是直径AB上两点，且AC＝BD， ∴OC＝OD， ∵CM⊥AB，DN⊥AB， ∴∠OCM＝∠ODN＝90°， 在Rt△OMC和Rt△OND中， ∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL）， ∴∠COM=∠DON， ∴＝ 知识点四 弧、弦、圆心角之间的关系与圆的对称性综合运用 【例4】如图所示，已知⊙O的半径是1，C，D是直径AB同侧圆周上的两点，的度数为60°，的度数为30°，动点P在直径AB上，则PC+PD的最小值为( ) A. 2 B. C. D. 1 【分析】首先要确定点P的位置，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D，交圆于点P，则点P即为所求作的点．且此时PC+PD的最小值为C′D． 【解答】解：连接DC′， 根据题意以及垂径定理， 得弧C′D的度数是120°， 则∠C′OD＝120°． 作OE⊥C′D于E， 则∠DOE＝60°，则 故选：B 【知识巩固】 1. 如果两个圆心角相等，那么（ ） A．这两个圆心角所对的弦相等 B．这两个圆心角所对的弧相等 C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D．以上说法都不对 【解答】解：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，所对的弦的弦心距相等． 故选：D 2. P是⊙O外一点，PA、PB分别交⊙O于C、D两点，已知、的度数别为88°、32°，则∠P的度数为（ ） A．26° B．28° C．30° D．32° 【解答】解：∵和所对的圆心角分别为88°和32°， ∴∠A＝×32°＝16°，∠ADB＝×88°＝44°， ∵∠P＋∠A＝∠ADB， ∴∠P＝∠ADB－∠A＝44°－16°＝28°． 故选：B． 3. 如图，已知A，B，C，D是圆上的点，＝，AC，BD交于点E，则下列结论正确的是（ ） A．AB＝AD B．BE＝CD C．AC＝BD D．BE＝AD 【解答】解：连接BC， ∵＝ ∴＋＝＋ ∴＝ ∴AC＝BD， 故选：C 4. 如图，C为弧AB的中点，CN⊥OB于N，CD⊥OA于M，CD＝4cm，则CN＝_____cm 【解答】解：∵CM⊥OA， 即OM⊥CD， 由垂径定理得：CD＝2CM＝4cm， 连接OC， ∵C为弧AB的中点， ∴＝， ∴∠AOC＝∠BOC， ∵CN⊥OB，CD⊥OA ∴CM＝CN＝2cm， 5. 如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB的距离等于_____ 【解答】解：∵圆心角∠AOB＝120°，OA＝OB， ∴△OAB是等腰三角形， ∵OC⊥AB， ∴∠ACO＝90°，∠A＝30°， ∴OC＝OA＝2． 故答案为：2 【培优特训】 6. 如图，矩形ABCD的顶点A，B在圆上，BC，AD分别与该圆相交于点E，F，G是的三等分点（＞），BG交AF于点H，若的度数为30°，则∠GHF等于( ) A．40° B．45° C．55° D．80° 【解答】解：连接BF ∵的度数为30° ∴的度数为150°，∠AFB＝15°， ∵G是的三等分点 ∴的度数为50°， ∴∠GBF＝25°， ∴∠GHF＝∠ ... ...
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