2019年中考几何专题精讲精练专题一 正方形内的两对边上动点连线段模型及练习（教师版+学生版）

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 2019年中考几何专题精讲精练教师版 专题一 正方形内的两对边上动点连线段模型及练习 一、知识储备： 1、 两点之间线段最短 2、 平移与翻折性质 3、 平行线等分线段定理 4、 线段垂直平分线定理 5、 勾股定理 6、 三角形全等判定与性质 7、 特殊四边形性质与判定 8、 直角三角形斜边上中线等于斜边一半 二、方法与技巧：平移构造、中点构造、化折为直、方程思想等 三、基本几何模型与变式： 中考原题：（2018·湘潭）如图，在正方形ABCD中，AF＝BE，AE与DF相交于点O． （1）求证：△DAF≌△ABE； （2）求∠AOD的度数． 解：（1）证明：在正方形ABCD中， AD＝AB，∠DAB＝∠ABE＝90°，在△DAF和△ABE中，,∴△DAF≌△ABE（SAS） （2）∵△DAF≌△ABE,∴∠ADF＝∠BAE,又∠DAF＝90°,∴∠DAO＋∠BAE＝90°,∴∠DAO＋∠ADF＝90°,∴∠AOD＝90° 结构探究一：如图，E,F分别是正方形ABCD边AD,CD上一动点， (1) 若AF=BE时，则有AF⊥BE (2) 若AF⊥BE时，则有AF=BE 结构探究二：如图，正方形ABCD中，E,F分别是AB,CD上的动点，M,N分别是AD,BC边上的动点，连EF,MN （1）当MN⊥EF时，则有MN=EF （2）：当MN=EF时，则有MN⊥EF 证明：探究一：如图，当MN⊥EF时， 过A作AK∥MN交BC于K，过B作BG∥EF交CD于G，∵ABCD为正方形，∴AB∥CD,AD∥BC，∠ABC=∠C=90°;由AB∥CD，AK∥MN可得AMNK为平行四边形,∴AK=MN,AK⊥EF;同理可证BEFG为平行四边形； ∴∠AKB+∠KBG=∠BAK+∠AKB=90°, ∴∠KBG=∠BAK;在△ABK和△BCG中，,∴△ABK≌△BCG(ASA), ∴AK=BG，又AK=MN,BG=EF，∴EF=MN; 探究二：如图，当MN=EF时，过A作AK∥MN交BC于K，过B作BG∥EF交CD于G，∵ABCD为正方形，∴AB∥CD,AD∥BC，∠ABC=∠C=90°;由AB∥CD，AK∥MN可得AMNK为平行四边形,∴AK=MN,同理可证BEFG为平行四边形；∴AK=MN=EF=BG，在△ABK和△BCG中，,∴△ABK≌△BCG(HL), ∴∠KBG=∠BAK;而∠BAK+∠AKB=90°, ∴∠AKB+∠KBG=90°, ∴AK⊥BG,又EF∥BG，∴AK⊥EF，而AK∥MN，∴MN⊥EF 提炼模型：正方形内相对两边上动点连线段，如果这两条线段垂直，则必相等；反之，如果这两条线段相等，那么则一定垂直； 方法总结：平移是一种重要的数学方法，利用平移构造转化，补成全等图形和平行四边形。 模型运用： 跟进练习1：如图，E,F分别是正方形ABCD边AB,CD边上动点，K在BC边上，且BK=3,连EF，将正方形沿EF翻折后得四边形EFGK，D与G对应且A点恰与K重合，正方形边长为9 （1）求折痕EF长 （2）求DF长 解：(1)连AK，由翻折可知，EFGK与EADF关于EF对称，∴AK⊥EF，则可作BM∥EF，回到正方形内对边连线段垂直模型证明知AM=EF,在△ABK中，由勾股定理可知AK=,则折痕MN= (2) 由翻折可知AE=EK,设AE=x,则BE=9-x, 由得，得x=5, ∴BE=4,由模型证明过程知FM=BE=4,CM=BK=3, ∴DF=DC-FM-CM=9-4-3=2 跟进练习2： 如图，E，F分别是正方形ABCD的边AD,CD上两个动点，满足AF=BE．连接AF与BE交于点H．若正方形的边长为6，求线段DH长度的最小值_． 解：如图，由正方形内对边线段模型可知BE=AF时有AE⊥AF,∴∠AGB=90°,△ AGB为直角三角形，取AB中点O, ∴OG=AB=3，OD=;由两点之间线段最知可知，GD≤DO-OG=所以当OGD三点共线时取等号，即DG最小值为 跟进练习3：如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为6，求线段DH长度的最小值是_． 解：在正方形ABCD中，∵AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG， 在△ABE和△DCF中，由 可得△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1=∠2．同理可证△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2=∠3，∴∠1=∠3．∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°，∴∠1+∠BAH=90°，∴∠AHB=180°-90°=90°． 取AB的中点O，连接OH、O ... ...