第六讲 角平分线的性质 教学目标： 1.学会用尺规作图，作一个角等于已知角，作已知角的角平分线 2.能利用角平分线的性质解决简单问题 3.角平分线的性质及判定定理的运用 重点难点： 1.角平分线的性质的运用与逆用。 2.利用角平分线构造全等三角形。 3.继续学习证明及综合法证明的格式。 知识导航： 1.角平分线的画法 A M C O N B （1）已知∠AOB，求作∠AOB 的角平分线： ①以 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于 M，交 OB 于 N。 ②分别以 M，N 为圆心，以大于 MN 长为半径作弧，在∠AOB 的内部两弧交 于点 C。 ③过 O、C 两点作射线 OC，射线 OC 就是所求角的角平分线。 2．角平分线的性质及判定 （1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 （2）角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上。 3．三角形的角平分线的性质 （1）三角形的三条角平分线交于一点，这点到三边的距离相等。 （2）三角形两个外角的角平分线也交于一点，这点到三边所在的直线的距离相等。 （3）三角形外角平分线交点共有三个，所以到三角形三遍所在直线距离相等的点有 4 个。 考点/易错点 1 角平分线是一种对称模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线； 2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形； 3． OA=OB，这种对称的图形应用得也较为普遍。 典型例题： 【例 1】尺规作图：请在图上作一个∠AOC，使其是已知∠AOB 的 倍．（要求：写出已知、求作，保留作图 痕迹，在所作图中标上必要的字母，不写作法和结论) 已知： 求作： 【答案】已知： (AOB ．求作： (AOC ，使 (AOC ( (AOB ．作图如右上所示： 【解析】首先画出∠AOB 的角平分线，再以 OB 为边，画∠BOC=∠BOF． 【例 2】如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，DE ⊥AB 于 E，若 AC=3cm，则 AD+DE 为（ ） A． 3cm B． 4cm C． 2cm D． 无法确定 【答案】A． 【解析】∵BD 平分∠ABC，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC，∴AD+DE=AD+DC=AC，∵AC=3cm，∴AD+DE=3cm． 【例 3】如图，已知四边形 ABCD 中，AD∥BC，若∠DAB 的平分线 AE 交 CD 于 E，连接 BE，且 BE 恰好平 分∠ABC，则 AB 的长与 AD+BC 的大小关系是（ ） A． AB＞AD+BC B． AB＜AD+BC C． AB=AD+BC D． 无法确定 【答案】C． 【解析】解法 1：在 AB 上截取 AF=AD，连接 EF，易证 AE⊥BE，△ ADE≌△AFE（SAS），所以∠1=∠2，又 ∠2+∠4=90°，∠1+∠3=90°，所以∠3=∠4，所以可证△ BCE≌△BFE， 所以 BC=BF，所以 AB=AF+BF=AD+BC； 解法 2：如图，延长 AE 交 BC 延长线于 F，∵AD∥CB，∴∠CBA+∠BAD=180°，∵BE 平分∠CBA，AE 平分 ∠BAD，∴∠EBA+∠BAE=90°，∴∠BEA=180°﹣90°=90°，∴BE⊥AF，由△ ABE≌△FBE（ASA），可得 BA=BF， AE=FE，于是可证△ ADE≌△FCE（ASA），所以 AD=CF，所以 AB=BC+CF=BC+AD． 【例 4】如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=14，BD 平分∠ABC，交 AC 于 D，AD=10，则点 D 到 AB 的距离 为（ ） A．10 B．4 C．7 D．6 【答案】B． 【解析】解：如图，过点 D 作 DE⊥AB 于 E，∵AC=14，AD=10，∴CD=AC﹣AD=14﹣10=4， ∵BD 平分∠ABC，∠C=90°，∴DE=CD=4． 【例 5】如图，在△ABC 中，AC=CB，∠C=90°，AD 是∠BAC 的平分线，∠E=90°，那么 AD 与 BE 的长度 关系为 。 【答案】AD=2BE 【解析】理由是：延长 AC，BE 交于 O，∵∠C=∠AEB=90°，∠CDA=∠EDB，∴由三角形内角和定理得： ∠1=∠3，∵∠ACD=∠BCO=90°， ((1 ( (3 在△ACD 和△BCO 中， ( AC ( BC ((ACD ( (BCO ，∴△ACD≌△BCO（ASA），∴AD=BO， ∵AD 平分∠CAB，∴∠1=∠2，∵∠AEB=∠AEO ... ...
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