2017_2018学年高中数学第三章空间向量与立体几何优化练习（打包7套）新人教A版选修2_1

3.1.1-3.1.2 空间向量的数乘运算 [课时作业] [A组　基础巩固] 1．若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，则(　　) A．m，n，p共线 B．m与p共线 C．n与p共线 D．m，n，p共面 解析：由于(a＋b)＋(a－b)＝2a， 即m＋n＝2p，即p＝m＋n， 又m与n不共线，所以m，n，p共面． 答案：D 2．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则(　　) A．x＝1，y＝ B．x＝，y＝1 C．x＝1，y＝ D．x＝1，y＝ 解析：＝＋＝＋ ＝＋(＋)，所以x＝1，y＝. 答案：D 3．已知空间向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 解析：∵＝＋＝2a＋4b＝2，∴A，B，D三点共线． 答案：A 4．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则在下列各结论中正确的结论共有(　　) ①＋与＋是一对相反向量； ②－与－是一对相反向量； ③＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量； ④－与－是一对相反向量． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：利用图形及向量的运算可知②是相等向量，①③④是相反向量． 答案：C 5．若A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有＝＋＋，则P，A，B，C四点(　　) A．不共面 B．共面 C．共线 D．不共线 解析：∵＋＋＝1， ∴P，A，B，C四点共面． 答案：B 6．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ， 则λ＝_____. 解析：＝－＝－＝－(－)＝＋， 又＝＋λ，所以λ＝. 答案： 7.如图，已知空间四边形ABCD中，＝a－2c， ＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E、F，则＝_____(用向量a，b，c表示)． 解析：设G为BC的中点，连接EG，FG，则＝＋ ＝＋ ＝(a－2c)＋(5a＋6b－8c) ＝3a＋3b－5c. 答案：3a＋3b－5c 8．设e1，e2是空间两个不共线的向量，若＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2， ＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，则实数k＝_____. 解析：∵＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2， ∴＝＋＝5e1＋4e2＋e1＋2e2＝6e1＋6e2. 又＝e1＋ke2，∵A，B，D三点共线， ∴存在实数u，使＝u，即e1＋ke2＝6ue1＋6ue2， ∵e1，e2不共线，∴∴k＝1. 答案：1 9.如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： (1)；(2)；(3). 解析：(1)∵P是C1D1的中点， ∴＝＋＋＝a＋＋ ＝a＋c＋＝a＋c＋b. (2)∵N是BC的中点， ∴＝＋＋＝－a＋b＋ ＝－a＋b＋＝－a＋b＋c. (3)∵M是AA1的中点， ∴＝＋＝＋ ＝－a＋＝a＋b＋c. 10.如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1. (1)证明：A，E，C1，F四点共面； (2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值． 解析：(1)证明：∵ABCD-A1B1C1D1是平行六面体， ∴＝＝＝， ∴＝，＝， ∴＝＋＋＝＋＋＋ ＝＋＝＋＋＋＝＋，由向量共面的充分必要条件知A，E，C1，F四点共面． (2)∵＝－＝＋－(＋)＝＋－－＝－＋＋，又＝x＋y＋z，∴x＝－1，y＝1，z＝，∴x＋y＋z＝. [B组　能力提升] 1．若a，b是平面α内的两个向量，则(　　) A．α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R) B．若存在λ，μ∈R使λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0 C．若a，b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R) D．若a，b不共线，则α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R) 解析：当a与b共线时，A项不正确；当a与b是相反向量，λ＝μ≠0时，λa＋μb＝0，故B项不正确；若a与b不共线，则平面α内任意向量可以用a，b表示，对空间向量则不一定，故C项不正确，D项正确． 答案：D 2．已知向量c，d不共线，设向量a＝kc＋d，b＝c－k2d.若a与b共线， 则实数k的值为(　　) A．0 B．1 C．－1 D．2 解析：∵c，d不共线，∴c≠0，且d≠0. ∵a与b共线，∴存在实数λ，使得a＝λb成立，即kc＋d＝λ(c－k2d)， 整理得(k－λ)c＋(1＋λk2)d ... ...