第七章 圆 第26讲 与圆有关的证明 考点分布 考查频率 考点内容 命题趋势 与圆有关的证明 ★★★★★ 掌握用全等或导角转换等方法证明直线是圆的切线掌握用圆的有关性质以及三角形全等或相似推理线段之间的位置与数量关系掌握用圆的有关性质及特殊四边形相关性质进行合理推理4 掌握用圆的有关性质等几何知识并运用数学思想方解决动态及新定义问题 利用圆的有关性质及相关的几何知识，特别是切线证明及性质运用，借力于全等或相似或导角（比）对线段的数量与位置关系进行合理探求，设置动态问题或新定义等情景，解决与线段、角、几何图形面积等，着眼于方程、转化、函数、分类及数形结合等多种思想方法的考查 1 与圆有关的常用的定理： （1）垂径定理：垂直于弦的直径 这条弦并且 弦所对的两条弧；推论：一条直线如果具有过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的劣弧、平分弦所对的优弧等五个性质中任何两个，则必具有另三个性质，但要注意推论中：平分弦（弦不是 ）的直径垂直于弦且平分弦所对的两条弧 （2）圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 相等；推论：在同圆或等圆中，一组圆心角以及它们所对的弦、所对弦的弦心距、所对的弧四组量中，有一组相等，则其余的三组量也分别相等 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 ；推论：直径所对的圆周角是 ； 的圆周角所对的弦是直径；一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的 ． 切线的性质与判定：到圆心的距离 半径的直线是圆的切线；经过 外端且垂直于这条 的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过 的半径 2 与圆常见的命题背景：中点、角平分线、全等与相似、旋转与平移、特殊四边形等素材组合，一般涉及分类思想、方程思想、函数思想、转化及数形结合、运动变化等 3 与圆相关的常见模型： 模型1：垂径定理 模型2：弦切模型： 模型3：圆周角平分线与直径 模型4：定弦定角 模型5：定点定长 模型6：对角互补 模型7：阿氏圆 ※考向一：推理线段与圆、线段与线段之间的关系 典例1：（2017·内江）如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，点E在AB上，且AE＝CE （1）求证：； （2）过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，试判断PB与PE是否相等，并说明理由； （3）设⊙O半径为4，点N为OC中点，点Q在⊙O上，求线段PQ的最小值． 【分析】（1）证明△AEC∽△ACB，列比例式可得结论；（2）如图2，证明∠PEB＝∠COB＝∠PBN，根据等角对等边可得：PB＝PE；（3）如图3，先确定线段PQ的最小值时Q的位置：因为OQ为半径，是定值4，则PQ＋OQ的值最小时，PQ最小，当P、Q、O三点共线时，PQ最小，先求AE的长，从而得PB的长，最后利用勾股定理求OP的长，与半径的差就是PQ的最小值． 【解答】解：（1）证明：如图1，连接BC，∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，∴，∴∠A＝∠ABC，∵EC＝AE，∴∠A＝∠ACE，∴∠ABC＝∠ACE，∵∠A＝∠A，∴△AEC∽△ACB，∴，∴； （2）PB＝PE，理由是：如图2，连接OB，∵PB为⊙O的切线，∴OB⊥PB，∴∠OBP＝90°，∴∠PBN＋∠OBN＝90°，∵∠OBN＋∠COB＝90°，∴∠PBN＝∠COB，∵∠PEB＝∠A＋∠ACE＝2∠A，∠COB＝2∠A，∴∠PEB＝∠COB，∴∠PEB＝∠PBN，∴PB＝PE； （3）如图3，∵N为OC的中点，∴ON＝OC＝OB，Rt△OBN中，∠OBN＝30°，∴∠COB＝60°，∵OC＝OB，∴△OCB为等边三角形，∵Q为⊙O任意一点，连接PQ、OQ，因为OQ为半径，是定值4，则PQ＋OQ的值最小时，PQ最小，当P、Q、O三点共线时，PQ最小，∴Q为OP与⊙O的交点时，PQ最小，∠A＝∠COB＝30°，∴∠PEB＝2∠A＝60°， ∠ABP＝90°﹣30°＝60°，∴△PBE是等边三角形，Rt△OBN中，BN＝，∴AB＝2BN＝4，设AE＝x，则CE ... ...
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