21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 浙江版八年级数学上册第一章1.5全等三角形的判定 第4课时 三角形全等的判定（4） 【知识清单】 一、三角形全等条件的再探索：在和中，每个三角形都有三条边，三个角，共6个元素，边简称（S），角简称（A）；通过探究人们发现用三组对应元素相等，就可以简捷的判定两个三角形全等；因此，6组元素构成如下组合，即：SSS、SAS、SSA、ASA、AAS、AAA，我们已经学习了用SSS、SAS、ASA可以判定两个三角形全等；（1）AAA是指三个角对应相等两个三角形，如 图①在，点D是AB上的点，点E是AC上的点，DE∥BC，则有∠A=∠A，∠ADE=∠B，∠AED=∠C，满足三组角对应相等，但△ADE与△ABC不能全等. （2）SSA是指两边和其中一条边的对角对应相等的两个三角形，如图②△ABC与△ABD满足两边和其中一边的对角分别相等，即AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，但△ABC与△ABD不能全等.这说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等. AAS是指两角和其中一条角的对边对应相等的两个三角形，它是真命题，可由ASA定理推出. 二、（1）全等三角形判定4:两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）； （2）注意书写格式：角角边中的边是指其中一个角的对边，在证明过程中边一定不要放在两组对应角的中间. 如图③，在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(AAS). 三、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等. 四、选择证明三角形全等的方法与技巧（“题目中找，图形中看”） 1.判定两个三角形全等的定理中，必须具备三组条件（直角三角形除外），且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，一定要先寻找相等的边. 2.灵活选择适当的方法判定两个三角形全等. （1）已知两角对应相等，可找：①夹边相等（ASA）；②任一组等角的对边相等(AAS). （2）已知两边对应相等，可找：①夹角相等（SAS）；②第三组边也相等(SSS). （3）已知一边一角对应相等，可找：①任一组角相等(AAS或ASA) ；②夹等角的另一组边相等(SAS). 五、全等三角形中的基本图形的构造与运用 （1）出现角平分线时，常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形 （2）出现线段的中点（或三角形的中线）时，可利用中点构造全等三角形（常用加倍延长中线） （3）利用加长（或截取）的方法解决线段的和、倍问题（转移线段） 六、考点证明三角形全等，以及在三角形全等的基础之上进一步证明线段、角度之间的数量关系. 【经典例题】 例题1，求证：全等三角形对应边上的高线相等. 如图，已知≌，、分别是边、上的高，求证：. 【分析】根据≌′，可得，′，再根据，分别是对应边与上的高，，利用AAS求证≌即可. 【证明】：∵≌， ∴，（全等三角形对应边相等、对应角相等） ∵、分别是、的高（已知）， ∴（垂直定义）. 在和中， ∴≌（AAS）， ∴（全等三角形的对应边相等） 【点评】证明文字叙述的真命题的一般步骤：（1）分清条件和结论；（2）画出图形；（3）根据条件写出已知，根据结论写出求证；（4）证明. 例题2，如图，已知AB=AD，AC=AE，连接BC、DE，BC与DE相交于点P，求证：射线AP是∠MAN的平分线. 【分析】根据所给的条件AB=AD，AC=AE和公共角∠CAE，可以求得△ABC≌△ADE（SAS），进而得到∠6=∠5，再由∠3=∠4，BE=DC，推出△BPE≌△DPC（AAS），所以EP=CP；再由SSS或SAS定理得出△APE≌△APC，因此∠1=∠2.，射线AP是∠MAN的平分线. 【证明】：在△ABC和△ADE中， ∴△ABC≌△ADE（SAS）. ∴∠6=∠5（全等三角形对应角相等）. ∵AB=AD，AE=AC（已知）， ∴AE－AB=AC－AD（等量减等量差相等）. 即BE=DC. 在△BPE和△DPC中， ∴△BPE≌△DPC（AAS）. ∴EP=CP（全等三角形对应边相等 ... ...
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