专题06 导数的几何意义 考纲解读明方向 考点 内容解读 要求 常考题型 预测热度 1.导数的概念与几何意义 1.了解导数概念的实际背景 2.理解导数的几何意义 Ⅱ 选择题、 填空题 ★★★ 2.导数的运算 1.能根据导数定义求函数y=C(C为常数),y=x,y=,y=x2,y=x3,y=的导数 2.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数 Ⅲ 选择题、 解答题 本部分主要是对导数概念及其运算的考查,以导数的运算公式和运算法则为基础,以导数的几何意义为重点. 1.导数的几何意义最常见的是求过曲线上某点的切线的斜率、方程、斜率与倾斜角的关系、切点的坐标,或以平行、垂直直线的斜率间的关系为载体求字母的取值等. 2.导数的运算是每年必考的内容,一般不单独考查,而在考查导数的应用时与单调性、极值与最值结合出题考查. 3.本节内容在高考中分值为5分左右,属于容易题. 2018年高考全景展示 1.【2018年理新课标I卷】设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 【答案】D 点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果. 2．【2018年全国卷Ⅲ理】曲线在点处的切线的斜率为，则_____． 【答案】 【解析】分析：求导，利用导数的几何意义计算即可。 详解：，则，所以，故答案为-3. 点睛：本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题。 3．【2018年理数全国卷II】曲线在点处的切线方程为_____． 【答案】 【解析】分析：先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程. 详解： 点睛：求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点. 4.【2018年理数天津卷】已知函数，，其中a>1. （I）求函数的单调区间； （II）若曲线在点处的切线与曲线在点 处的切线平行，证明； （III）证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线. 【答案】(Ⅰ)单调递减区间，单调递增区间为；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)证明见解析. 【解析】分析：（I）由题意可得.令，解得x=0.据此可得函数的单调递减区间，单调递增区间为. （II）曲线在点处的切线斜率为.曲线在点处的切线斜率为.原问题等价于.两边取对数可得. （III）由题意可得两条切线方程分别为l1：.l2：.则原问题等价于当时，存在，，使得l1和l2重合.转化为当时，关于x1的方程存在实数解，构造函数，令，结合函数的性质可知存在唯一的x0，且x0>0，使得，据此可证得存在实数t，使得，则题中的结论成立. 详解：（I）由已知，，有. 令，解得x=0. 由a>1，可知当x变化时，，的变化情况如下表： x 0 0 + 极小值 所以函数的单调递减区间，单调递增区间为. （II）由，可得曲线在点处的切线斜率为. 由，可得曲线在点处的切线斜率为. 因为这两条切线平行，故有，即. 两边取以a为底的对数，得，所以. （III）曲线在点处的切线l1：. 曲线在点处的切线l2：. 要证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线， 只需证明当时，存在，，使得l1和l2重合. 即只需证明当时，方程组有解， 由①得，代入②，得. ③ 因此，只需证明当时，关于x1的方程③存在实数解. 设函数，即要证明当时，函数存在零点. ，可知时，； 时，单调递减，又，， 故存在唯一的x0，且x0>0，使得，即. 由此可得在上单调递增，在上单调递减. 在处取得极大值.因为，故， 所以. 下面证明存在实数t，使得.由（I）可得，当时， 有，所以存在实数t，使得，因此 ... ...
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