第五章 三 角 形 第2讲 三角形的重心、垂心、外心和内心 --精讲深剖 三角形是最重要的基本平面图形，它包含了丰富的知识，也蕴含了深刻的思想，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题。三角形与高中三角函数、向量、解三角形及立体几何等部分都有密切的联系，因而扎实掌握三角形的相关知识是进一步学习的基础。 初中阶段大家已经学习了三角形边上中线、高线、垂直平分线及内角平分线的一些性质。如三角形角平分线上的点到这个角两边的距离相等；三角形边的垂直平分线上的点到这条边两个端点的距离相等，诸如此类。 在高中学习中，还会涉及到三角形三条中线交点（重心）、三条高线交点（垂心）、三条边的垂直平分线交点（外心）及三条内角平分线交点（内心）的问题，因而有必要进一步了解它们的性质。 【知识梳理】 三角形的四心 (1)角平分线：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心，它到三角形各边的距离相等． (2)高线：三角形的三条高线交于一点，这点叫做三角形的垂心． (3)中线：三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心． (4)垂直平分线：三角形的三条垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点的距离相等． 【典例解析】求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1. 已知：D、E、F分别为△ABC三边BC、CA、AB的中点， 求证：AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1. 【解析】 证明： 连结DE，设AD、BE交于点G， D、E分别为BC、AE的中点， 则DE//AB，且， ∽，且相似比为1：2， . 设AD、CF交于点，同理可得， 则与重合， AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成. 【解题反思】三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点. 【变式训练】求证重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 已知：为的重心, 求证： 【分析】可联系重心的性质，重心为中线的三等分点即；,在运用 等底，高成比例完成证明； 【点评】将重心的性质借助相似比，推出了重心关于三角形面积的性质。同时应当想到它还有其它性质。 【典例解析】已知的三边长分别为，I为的内心，且I在的边上的射影分别为， 求证：. 【解析】证明：作的内切圆，则分别为内切圆在三边上的切点， 为圆的从同一点作的两条切线，， 同理，BD=BF，CD=CE. ； 即. 【解题反思】三角形的三条角平分相交于一点，这个交点称为三角形的内心。内心到三角形三边的距离相等。 【变式训练】1.若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形. 已知：O为三角形ABC的重心和内心. 求证：三角形ABC为等边三角形. 【解析】证明： 如图，连AO并延长交BC于D. O为三角形的内心，故AD平分， （角平分线性质定理） O为三角形的重心，D为BC的中点，即BD=DC. ，即. 同理可得，AB=BC. 为等边三角形. 【点评】等边三角形具有四心合一的性质。 【变式训练】2.在三角形ABC中，G为重心，I为内心，若AB=6， BC=5，CA=4，求的值．【分析】根据三角形重心性质可得：3GI2=AI2+BI2+CI2﹣（AG2+BG2+CG2），求得GI后代入求值即可． 【点评】本题考查了三角形的五心的知识，解题的关键是了解三角形重心性质：3GI2=AI2+BI2+CI2﹣（AG2+BG2+CG2）． 【典例解析】在中，为垂心，，，，为外接圆半径， 求证:． 注此性质的证明，或由勾股定理有 等，即可． 【解题反思】三角形的三条高线相交于一点为垂心，通过探究也具有丰富的性质。 【变式训练】设的外接圆半径为，则 求证：，， 【解析】证明当为锐角三角形时，如图， 显然有，从而． 在中，， 故． 同理，，． 当为钝角三角形时，不妨设为钝角． 此时，只需调换图中字母与，与的位置，图形不变， 即得，， ... ...
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