第19章 相似形 【知识衔接】 ———初中知识回顾——— 相似三角形的判定 (1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA)． 如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF． (2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A＝∠D，，则△ABC∽△DEF． (3) 三边对应成比例的两个三角形相似． 如图，若，则△ABC∽△DEF． 相似三角形的性质 (1)对应角相等，对应边成比例． (2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． (3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比． ———高中知识链接——— 1．(1)相似三角形的判定主要是依据三个判定定理，结合定理创造条件建立对应边或对应角的关系．(2)注意辅助线的添加，多数作平行线．(3)相似三角形的性质应用可用来考查与相似三角形相关的元素，如两个三角形的高、周长、角平分线、中线、面积、外接圆的直径、内切圆的面积等． 2．涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形中寻找比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理． 【经典题型】 初中经典题型 1、已知：四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，对角线AC、BD交于点E，点F在边BC上，且∠BEF=∠BAC． （1）求证：△AED∽△CFE； （2）当EF∥DC时，求证：AE=DE． 【分析】（1）首先根据已知得出∠ABD=∠FEC，以及∠DAE=∠ECF，进而求出△AED∽△CFE， （2）根据相似三角形的判定得出△AEB∽△DEC，再利用相似三角形的性质解答即可． ∴∠FEC=∠ADB， ∵AD∥BC， ∴∠DAE=∠ECF， ∴△AED∽△CFE； （2）∵EF∥DC， ∴∠FEC=∠ECD， ∵∠ABD=∠FEC， ∴∠ABD=∠ECD， ∵∠AEB=∠DEC． ∴△AEB∽△DEC， ∴， ∵AD∥BC， ∴， ∴．即AE2=DE2， ∴AE=DE． 2、某一天，小明和小亮来到一河边，想用平面镜和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，现在河岸边选择了一点C（点C与河对岸岸边上的一棵树的底部点B所确定的直线垂直于河岸）． 小明到F点时正好在平面镜中看到树尖A，小亮在点D放置平面镜，小亮到H点时正好在平面镜中看到树尖A，且F、D、H均在BC的延长线上，小明的眼睛距地面的高度EF=1．5m，小亮的眼睛距地面的高度GH=1．6m，测得CF=1m，DH=2m，CD=8．4m，AB⊥BH，EF⊥BH，GH⊥BH，根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BC是多少米？ 【分析】根据题意求出△ABC∽△EFC，△ABD∽△GHD，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【解析】由题意可得：∠ACB=∠ECF，∠ADB=∠GDH． ∵AB⊥BH，EF⊥BH，GH⊥BH， ∴∠ABC=∠EFC=∠CHD=90°， ∴△ABC∽△EFC， ∴=，即=． ∵∠ADB=∠GDH，∠ABC=∠GHD=90°， ∴△ABD∽△GHD， ∴=，即=， 解得BC=9．6m． 答：河宽BC是9．6m． 3、在正方形ABCD中，AB=8，点P在边CD上，tan∠PBC=，点Q是在射线BP上的一个动点，过点Q作AB的平行线交射线AD于点M，点R在射线AD上，使RQ始终与直线BP垂直． （1）如图1，当点R与点D重合时，求PQ的长； （2）如图2，试探索：的比值是否随点Q的运动而发生变化？若有变化，请说明你的理由；若没有变化，请求出它的比值； （3）如图3，若点Q在线段BP上，设PQ=x，RM=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域． 【解析】（1）由题意，得AB=BC=CD=AD=8，∠C=∠A=90°， 在Rt△BCP中，∠C=90°， ∴， ∵， ∴PC=6， ∴RP=2， ∴， ∵RQ⊥BQ， ∴∠RQP=90°， ∴∠C=∠RQP， （2）的比值随点Q的运动没有变化， 如图1， ∵MQ∥AB， ∴∠1=∠ABP，∠QMR=∠A， ∵∠C=∠A=90°， ∴∠QMR=∠C=90°， ∵RQ⊥B ... ...
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