2018-2019学年九年级数学上册第一章特殊平行四边形3正方形的性质与判定知识讲解及例题演练（含答案）

正方形 【学习目标】 1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系； 2．掌握正方形的性质及判定方法． 【要点梳理】 要点一、正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 要点二、正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边———四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角———四个角都是直角； 3.对角线———��相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 要点三、正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 要点四、特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： 要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 【典型例题】 类型一、正方形的性质 1、已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P． （1）求证：AP=BQ； （2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长． 【思路点拨】（1）根据正方形的性质得出AD=BA，∠BAQ=∠ADP，再根据已知条件得到∠AQB=∠DPA，判定△AQB≌△DPA并得出结论；（2）根据AQ﹣AP=PQ和全等三角形的对应边相等进行判断分析． 【答案与解析】 解：（1）∵正方形ABCD ∴AD=BA，∠BAD=90°，即∠BAQ+∠DAP=90° ∵DP⊥AQ ∴∠ADP+∠DAP=90° ∴∠BAQ=∠ADP ∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P ∴∠AQB=∠DPA=90° ∴△AQB≌△DPA（AAS） ∴AP=BQ （2）①AQ﹣AP=PQ ②AQ﹣BQ=PQ ③DP﹣AP=PQ ④DP﹣BQ=PQ 【总结升华】本题主要考查了正方形以及全等三角形，解决问题的关键是掌握：正方形的四条边相等，四个角都是直角．解题时需要运用：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，以及全等三角形的对应边相等． 举一反三： 【变式1】如图四边形ABCD是正方形，点E、K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE＝BK＝AG．以线段DE、DG为边作正方形DEFG． (1)求证：DE＝DG，且DE⊥DG． (2)连接KF，猜想四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想． 【答案】 证明：(1)∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ DC＝DA，∠DCE＝∠DAG＝90°． 又∵ CE＝AG， ∴ △DCE≌△DAG， ∴ ∠EDC＝∠GDA，DE＝DG． 又∵ ∠ADE＋∠EDC＝90°， ∴ ∠ADE＋∠GDA＝90°， ∴ DE⊥DG． (2)四边形CEFK为平行四边形． 证明：设CK，DE相交于M点， ∵ 四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形， ∴ AB∥CD，AB＝CD，EF＝DG，EF∥DG； ∵ BK＝AG，∴ KG＝AB＝CD． ∴ 四边形CKGD为平行四边形． ∴ CK＝DG＝EF，CK∥DG∥EF ∴ 四边形CEFK为平行四边形． 【变式2】如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中 ... ...