第一章1.5二次函数的应用练习试卷

1.5　二次函数的应用 第1课时　利用二次函数解决实物抛物线问题、面积问题 基础题 知识点1　利用二次函数解决实物抛物线问题 1．河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y＝－x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时，这时水面宽度AB为(C) A．－20 m B．10 m C ．20 m D．－10 m 2．西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3 m，此时距喷水管的水平距离为 m，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是(C) A．y＝－(x－)2＋3 B．y＝－3(x＋)2＋3 C．y＝－12(x－)2＋3 D．y＝－12(x＋)2＋3 3．某工厂大门是一抛物线水泥建筑物(如图)，大门地面宽AB＝4 m，顶部C离地面高为4.4 m. (1)以AB所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式； (2)现有一辆载满货物的汽车欲通过大门，货物顶点距地面2.8 m，装货宽度为2.4 m，请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门． 解：(1)如图，过AB的中点作AB的垂直平分线，建立平面直角坐标系．点A，B，C的坐标分别为 A(－2，0)，B(2，0)，C(0，4.4)． 设抛物线的表达式为y＝a(x－2)(x＋2)． 将点C(0，4.4)代入得 a(0－2)(0＋2)＝4.4，解得a＝－1.1， ∴y＝－1.1(x－2)(x＋2)＝－1.1x2＋4.4. 故此抛物线的表达式为y＝－1.1x2＋4.4. (2)∵货物顶点距地面2.8 m，装货宽度为2.4， ∴只要判断点(－1.2，2.8)或点(1.2，2.8)与抛物线的位置关系即可． 将x＝1.2代入抛物线，得 y＝2.816＞2.8， ∴点(－1.2，2.8)和点(1.2，2.8)都在抛物线内． ∴这辆汽车能够通过大门． 知识点2　利用二次函数解决面积问题 4．(教材P32习题T2变式)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是(C) A．60 m2 B．63 m2 C．64 m2 D．66 m2 5．某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100 m，则池底的最大面积是(B) A．600 m2 B．625 m2 C．650 m2 D．675 m2 6．(教材P31练习T2变式)将一根长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是cm2. 7．在一幅长80 cm、宽50 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是y cm2，设金色纸边的宽为x cm，要求纸边的宽度不得少于1 cm，同时不得超过2 cm. (1)求出y关于x的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围； (2)此时金色纸边的宽应为多少厘米时，这幅挂图的面积最大？求出最大面积． 解：(1)镶金色纸边后风景画的长为(80＋2x)cm，宽为(50＋2x)cm， ∴y＝(80＋2x)(50＋2x)＝4x2＋260x＋4 000(1≤x≤2)． (2)∵二次函数y＝4x2＋260x＋4 000的对称轴为直线x＝－，∴在1≤x≤2上，y随x的增大而增大． ∴当x＝2时，y取最大值，最大值为4 536. 答：金色纸边的宽为2 cm时，这幅挂图的面积最大，最大面积为4 536 cm2. 中档题 8．(2018·绵阳)如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，水面下降2 m，则水面宽度增加(4－4) m. 9．某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50 m)，中间用两面墙隔开(如图)，已知计划中的建筑材料可建墙的长度为48 m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值是144m2. 10．如图，小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子，给他做了个简易秋千，拴绳子的地方离地面都是2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m时，头部刚好接触到绳子，则绳子最低点距离地面的距离为多少米？ 解：如图，建立平面直角坐标系，由图可设抛物线的函数表达式为y＝ax2＋c. 把(－0.5，1)，(1，2.5)代入，得 解得 ∴绳子所在抛物线的函数表达式为y＝2x2＋. ∵当x＝0 ... ...