思维特训(二) 中点四边形 中点四边形的定义：依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形． 中点四边形的形状只与原四边形对角线的位置及数量关系有关． (1)若原四边形对角线不垂直也不相等，则所得中点四边形为平行四边形； (2)若原四边形对角线垂直但不相等，则所得中点四边形为矩形； (3)若原四边形对角线不垂直但相等，则所得中点四边形为菱形； (4)若原四边形对角线垂直且相等，则所得中点四边形为正方形． 类型一 连接四边形各边中点得到的中点四边形 1．如图2－S－1，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是( ) 图2－S－1 A．当E，F，G，H是各边中点，且AC＝BD时，四边形EFGH为菱形 B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形 C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形 D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形 2．已知：如图2－S－2，分别以BM，CM为边，向△BMC外作等边三角形ABM和CDM，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点． (1)猜测四边形EFGH的形状； (2)证明你的猜想； (3)△BMC形状的改变是否对上述结论有影响？ 图2－S－2 3．观察探究，完成证明和填空． 如图2－S－3，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接E，F，G，H得到的四边形EFGH叫做中点四边形． (1)求证：四边形EFGH是平行四边形． (2)请你探究并填空： 当四边形ABCD变成菱形时，它的中点四边形是_____； 当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是_____； 当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是_____． (3)根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状是由原四边形的什么决定的． 图2－S－3 类型二 连接对角线或其他线段中点得到中点四边形 4．如图2－S－4，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点． (1)判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论； (2)当BD，AC满足什么条件时，四边形EFGH是正方形(不要求证明)? 图2－S－4 5．如图2－S－5，E，F，G，H分别是线段AB，CB，CD，AD的中点，连接E，F，G，H，判断四边形EFGH的形状，并说明理由． 图2－S－5 6．如图2－S－6，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，且BE＝CF，连接AE，BF，EF，AF，G，H，M，N分别是边AB，AF，EF，BE的中点． (1)猜想四边形GHMN的形状，并说明理由； (2)若AB＝4，CF＝2，求四边形GHMN的面积． 图2－S－6 7．如图2－S－7，在四边形ABCD中，AB＝CD，M，N，P，Q分别是AD，BC，BD，AC的中点． (1)求证：MN与PQ互相垂直平分； (2)连接MP，MQ，NP，NQ，若PQ＝6，MN＝10，求四边形MPNQ的面积和AB的长． 图2－S－7 详解详析 1．D [解析] A．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC＝BD时，存在EF＝FG＝GH＝HE，故四边形EFGH为菱形，故A正确； B．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC⊥BD时，存在∠EFG＝∠FGH＝∠GHE＝90°，故四边形EFGH为矩形，故B正确； C．如图所示，当E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点时，若EH∥FG，EH＝FG，则四边形EFGH为平行四边形，故C正确； D．如图所示，当E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点时，若EF＝FG＝GH＝HE，则四边形EFGH为菱形，故D错误． 故选D. 2．解：(1)四边形EFGH是菱形． (2)证明：如图，连接AC，BD， ∵△ABM和△CDM是等边三角形，∴AM＝BM，CM＝DM，∠AMB＝∠CMD＝60°， ∴∠AMC＝∠BMD. 在△AMC和△BMD中， AM＝BM，∠AMC＝∠BMD，CM＝DM， ∴△AMC≌△BMD，∴AC＝BD. ∵E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点， ∴EF＝GH＝AC，EH＝FG＝BD， ∴EF＝FG＝GH＝EH， ∴四边形EFGH是菱形． (3)△BMC形状 ... ...
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