第40讲 直线、平面平行的判定及其性质 （原卷版） 考点 内容解读 要求 常考题型 直线、平面平行的判定及其性质。 熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理和性质，会把空间问题转化为平面问题，解答过程中叙述的步骤要完整，避免因条件书写不全而失分。 Ⅱ 解答题 学会应用“化归思想”进行“线线问题、线面问题、面面问题”的互相转化，牢记解决问题的根源在“定理”． Ⅱ 解答题 知识要点梳理 1．平面与平面的位置关系有相交、 、线在面内三种情况． 2．直线和平面平行的判定 (1)定义：直线和平面没有 ，则称直线平行于平面； (2)判定定理：a?α，b?α，且a∥b? ； (3)其他判定方法：α∥β；a?α? . 3．直线和平面平行的性质定理：a∥α，a?β，α∩β＝l? 4．两个平面平行的判定 (1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面 ； (2)判定定理：a?α，b?α，a∩b＝M，a∥β，b∥β? ； (3)推论：a∩b＝M，a，b?α，a′∩b′＝M′，a′，b′?β， ，b∥b′?α∥β. 5．两个平面平行的性质定理 (1)α∥β，a?α?a∥β； (2)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b? . 6．与垂直相关的平行的判定 (1)a⊥α，b⊥α?a∥b； (2)a⊥α，a⊥β? 考点一 直线与平面平行的判定与性质 例1：如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为AC的中点，M为PD的中点． 求证：PB∥平面ACM. 【证明】连接BD，MO.在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点．又M为PD的中点，所以PB∥MO.因为PB?平面ACM，MO?平面ACM，所以PB∥平面ACM. 类题通解 利用判定定理时关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线． 变式训练 1．如图，若PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点，求证：AF∥平面PCE. 考点二 平面与平面平行的判定与性质 例2：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别为所在边的中点．求证：平面MNP∥平面A1C1B； 【证明】连接D1C，则MN为△DD1C的中位线， ∴MN∥D1C. 又∵D1C∥A1B，∴MN∥A1B.同理，MP∥C1B. 而MN与MP相交，MN，MP在平面MNP内，A1B，C1B在平面A1C1B内．∴平面MNP∥平面A1C1B. 类题通解 证明面面平行的方法有： (1)面面平行的定义； (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行； (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行； (4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行； (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化． 变式训练 1．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证： (1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG. 考点三 线面平行中的探索问题 例3：如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面ABC，若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由． 【解析】存在点E，且E为AB的中点． 下面给出证明： 如图，取BB1的中点F，连接DF， 则DF∥B1C1. ∵AB的中点为E，连接EF， 则EF∥AB1. B1C1与AB1是相交直线， ∴平面DEF∥平面AB1C1. 而DE?平面DEF，∴DE∥平面AB1C1. 类题通解 解决探究性问题一般要采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾)，则不存在． 变式训练 1．如图，在四棱锥PABCD中，底面是平行四边形，PA⊥平面ABCD，点M、N分别为BC、PA的中点．在线段PD上是否存在一点E，使NM∥平面ACE？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说 ... ...
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