第18讲 三角函数的图象与性质（原卷版） 考点 内容解读 要求 常考题型 1．三角函数的图象 画出三角函数的图像，了解三角函数的周期性 Ⅰ 选择题，填空题，大题 2．三角函数的性质 理解正弦函数，余弦函数的性质（单调性，最值性），理解正切函数的单调性。 Ⅱ 选择题，填空题，大题 1．三角函数的图象和性质 (1) “五点法”描图 (1)y＝sin x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (2)y＝cos x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 （2） 函数 性质 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 定义域 R R 图象 值域 R 对称性 对称轴： ； 对称中心： 对称轴： ； 对称中心： 对称中心： 周期 单调性 单调增区间 ； 单调减区间 单调增区间 ； 单调减区间 单调增区间 ；单调减区间 奇偶性 2．三角函数的周期性 一般地对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域范围的每一个x值都满足f(x＋T)＝f(x)，其中T是不为零的常数．如果只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)，或找到哪怕只有一个x值不满足f(x＋T)＝f(x)，都不能说T是函数f(x)的周期． 函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为 ， y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为 ． 3．正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于?x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1，所以1叫做y＝sin x，y＝cos x的上确界，－1叫做y＝sin x，y＝cos x的下确界． (2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响． (3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y＝sin2x－4sin x＋5，令t＝sin x(|t|≤1)，则y＝(t－2)2＋1≥1． 5．求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y＝Asin(ωx＋φ) (ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x所在的区间．应特别注意，应在函数的定义域内考虑．注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x系数的正负号) (1)y＝sin；(2)y＝sin． 4． 求函数最值的方法 (1)利用sin x、cos x的 ； (2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域； (3) ：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 考点一、三角函数的定义域和值域 例1：函数y＝lg(2sin x－1)＋的定义域是_____． 【答案】，k∈Z． 【解析】要使函数y＝lg(2sin x－1)＋有意义，则即解得2kπ＋≤x<2kπ＋，k∈Z．即函数的定义域为，k∈Z． 例2：(1)函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( ) A．2－ B．0 C．－1 D．－1－ (2)函数y＝3－sin x－2cos2x，x∈的值域为_____． 【解析】(1)∵0≤x≤9，∴－≤x－≤，∴sin∈． ∴y∈[－，2]，∴ymax＋ymin＝2－． (2)∵x∈，∴sin x∈．又y＝3－sin x－2cos2x＝3－sin x－2(1－sin2x)＝22＋，∴当sin x＝时，ymin＝；当sin x＝－或sin x＝1时，ymax＝2．故该函数的值域为． 类题通法 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目： ①形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； ②形如y＝asin xcos x＋b(sin ... ...
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