备战2019中考初中数学一轮复习专题导引40讲——15二次函数的应用

备战2019年中考初中数学一轮复习专题导引40讲 第15讲 二次函数的应用 ?考点解读： 知　识　点 名师点晴 二次函数的应用[来源:学|科|网] 1.实际背景下二次函数的关系 会运用二次函数的性质求函数的最大值或最小值来解决最优化问题。 2.将实际问题转化为数学中二次函数问题 会根据具体情景，建立适当的平面直角坐标系。 3.利用二次函数来解决实际问题的基本思路 （1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展。 ?考点解析： 考点1：二次函数与几何的综合运用。 基础知识归纳： 求点的坐标，求抛物线解析式，求线段长或图形面积的最值，点的存在性。 基本方法归纳：待定系数法、数形结合思想、分类讨论思想。 注意问题归纳：合理使用割补法表达面积，分类讨论要全面。 【例1】（2018·湖北十堰·12分）已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（0、﹣4）与x轴交于另一点C，连接BC． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO=S△PBC，求证：AP∥BC； （3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式； （2）令y=0求抛物线与x轴的交点C的坐标，作△POB和△PBC的高线，根据面积相等可得OE=CF，证明△OEG≌△CFG，则OG=CG=2，根据三角函数列式可得P的坐标，利用待定系数法求一次函数AP和BC的解析式，k相等则两直线平行； （3）先利用概率的知识分析A，B，C，E中的三点为顶点的三角形，有两个三角形与△ABE有可能相似，即△ABC和△BCE， ①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，根据存在公共角∠BAE=∠BAC，可得△ABE∽△ACB，列比例式可得E的坐标，利用待定系数法求直线BE的解析式，与抛物线列方程组可得交点D的坐标； ②当△ABE与以B，C.E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，同理可得结论． 【解答】解：（1）把点A（﹣2，0），B（0、﹣4）代入抛物线y=x2+bx+c中得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣4； （2）当y=0时，x2﹣x﹣4=0， 解得：x=﹣2或4， ∴C（4，0）， 如图1，过O作OE⊥BP于E，过C作CF⊥BP于F，设PB交x轴于G， ∵S△PBO=S△PBC， ∴， ∴OE=CF， 易得△OEG≌△CFG， ∴OG=CG=2， 设P（x，x2﹣x﹣4），过P作PM⊥y轴于M， tan∠PBM===， ∴BM=2PM， ∴4+x2﹣x﹣4=2x， x2﹣6x=0， x1=0（舍），x2=6， ∴P（6，8）， 易得AP的解析式为：y=x+2， BC的解析式为：y=x﹣4， ∴AP∥BC； （3）以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形有△ABC.△ABE.△ACE.△BCE，四种，其中△ABE重合，不符合条件，△ACE不能构成三角形， ∴当△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似，存在两个三角形：△ABC和△BCE， ①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2， ∵∠BAE=∠BAC，∠ABE≠∠ABC， ∴∠ABE=∠ACB=45°， ∴△ABE∽△ACB， ∴， ∴， ∴AE=， ∴E（，0）， ∵B（0，﹣4）， 易得BE：y=， 则x2﹣x﹣4=x﹣4， x1=0（舍），x2=， ∴D（，）； ②当△ABE与以B，C.E中的三点为顶点的三角形相似，如图3， ∵∠BEA=∠BEC， ∴当∠ABE=∠BCE时，△ABE∽△BCE， ∴==， 设BE=2m，CE=4m， Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2=OE2+OB2， ∴， 3m2﹣8m+8=0， （m﹣2）（3m﹣2）=0， m1=2，m2=， ∴OE=4m﹣4=12或， ∵OE=＜2，∠AEB是钝角，此时△ABE与以B，C.E中的三点为顶点的三角形不相似，如图4， ∴E（﹣12，0）； 同理得BE的解析式为：y=﹣x﹣4， ﹣x﹣4=x2﹣x﹣4， x=或0（舍） ... ...