第67讲 参数方程（原卷版） 考点 内容解读 要求 常考题型 1.参数方程的判定 参数方程与普通方程的互化与等价性判定 Ⅰ 选择题，填空题，大题 2.参数方程的意义 参数方程所表示的曲线的性质. Ⅱ 选择题，填空题，大题 一、参数方程的概念 (1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数：①，并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的 ，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做 ． (2)参数的意义：参数是联系变数x，y的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数． 2．参数方程与普通方程的区别与联系 (1)区别：普通方程F(x，y)＝0，直接给出了曲线上点的坐标x，y之间的关系，它含有x，y两个变量；参数方程(t为参数)间接给出了曲线上点的坐标x，y之间的关系，它含有三个变量t，x，y，其中x和y都是参数t的函数． (2)联系：普通方程中自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，可以确定另一个变量的值；参数方程中自变量也只有一个，而且给定参数t的一个值，就可以求出唯一对应的x，y的值． 这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程． 2．圆的参数方程 1．圆心在坐标原点，半径为r的圆的参数方程 如图圆O与x轴正半轴交点M0(r，0)． (1)设M(x，y)为圆O上任一点，以OM为终边的角设为θ，则以θ为参数的圆O的参数方程是(θ为参数)． 其中参数θ的几何意义是OM0绕O点逆时针旋转到OM的位置时转过的角度． (2)设动点M在圆上从M0点开始逆时针旋转作匀速圆周运动，角速度为ω，则OM0经过时间t转过的角θ＝ωt，则以t为参数的圆O的参数方程为(t为参数)． 其中参数t的物理意义是 ． 2．圆心为C(a，b)，半径为r的圆的参数方程 圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数方程可以看成将圆心在原点，半径为r的圆通过坐标平移得到，所以其参数方程为(θ为参数)． 3．参数方程和普通方程的互化 曲线的参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程的两种不同形式，两种方程是等价的可以互相转化． (2)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型．参数方程通过消去参数就可得到普通方程． (3)普通方程化参数方程，首先确定变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，其次将x＝f(t)代入普通方程解出y＝g(t)，则 就是曲线的参数方程． (4)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致． 二、圆锥曲线的参数方程 1．椭圆的参数方程 (1)中心在原点，焦点在x轴上的椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是 ，规定参数φ的取值范围是[0，2π)． (2)中心在原点，焦点在y轴上的椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是 ，规定参数φ的取值范围是[0，2π)． (3)中心在(h，k)的椭圆普通方程为＋＝1，则其参数方程为 ． 2．双曲线的参数方程和抛物线的参数方程 1．双曲线的参数方程 (1)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线－＝1的参数方程是(φ为参数)，规定参数φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠，φ≠． (2)中心在原点，焦点在y轴上的双曲线－＝1的参数方程是(φ为参数)． 2．抛物线的参数方程 (1)抛物线y2＝2px的参数方程为 ． (2)参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数． 三、直线的参数方程 1．直线的参数方程 经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为 ． 2．直线的参数方程中参数t的几何意义 (1)参数t的绝对值表示参数t所对应的点M到定点M0的距离． (2)当与e(直线的单位方向向量)同向时 ... ...
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