备战2019中考初中数学一轮复习专题导引40讲——22圆的有关性质

备战2019年中考初中数学一轮复习专题导引40讲 第22讲 圆的有关性质 ?考点解读： 知　识　点 名师点晴 垂径定理 1．垂径定理 能运用垂径定理解决有关问题． 2．垂径定理逆定理 能运用垂径定理的逆定理解决有关问题． 圆心角、弧、弦之间相等关系的定理 1．圆心角 了解圆心角的概念 2．圆心角、弧、弦之间相等关系的定理 应用弧、弦、圆心角的关系进行证明和计算． 圆周角 1．圆周角 了解圆周角的概念 2．圆周角的定理 理解圆周角定理及其推论，熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用． ?考点解析： 考点1：垂径定理及其推论 基础知识归纳： 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等． 基本方法归纳：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 注意问题归纳：这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 【例1】（2018?张家界）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE=（　　） A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm 【分析】根据垂径定理可得出CE的长度，在Rt△OCE中，利用勾股定理可得出OE的长度，再利用AE=AO+OE即可得出AE的长度． 【解答】解：∵弦CD⊥AB于点E，CD=8cm， ∴CE=CD=4cm． 在Rt△OCE中，OC=5cm，CE=4cm， ∴OE==3cm， ∴AE=AO+OE=5+3=8cm． 故选：A． 【变式1】（2017广西河池）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，∠CAB=36°，则∠BCD的大小是（　　） A．18° B．36° C．54° D．72° 【考点】M5：圆周角定理；M2：垂径定理． 【分析】根据垂径定理推出=，推出∠CAB=∠BAD=36°，再由∠BCD=∠BAD即可解决问题． 【解答】解：∵AB是直径，AB⊥CD， ∴=， ∴∠CAB=∠BAD=36°， ∵∠BCD=∠BAD， ∴∠BCD=36°， 故选B． 考点2：弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 基础知识归纳： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 基本方法归纳：正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等． 注意问题归纳：这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． 【例2】(2017湖北宜昌)如图，四边形ABCD内接⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（　　） A．AB=AD B．BC=CD C． D．∠BCA=∠DCA 【考点】M4：圆心角、弧、弦的关系． 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可． 【解答】解：A、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误； B、∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴BC=CD，故本选项正确； C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本选项错误； 【变式2】（2018?钦州三模）如图，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数是（　　） A．70° B．35° C．45° D．60° 【分析】欲求∠ADC，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解． 【解答】解：∵A、B、C、D是⊙O上的四点，OA⊥BC， ∴弧AC=弧AB （垂径定理）， ∴∠ADC=∠AOB（等弧所对的圆周角是圆心角的一半）； 又∠AOB=70°， ∴∠ADC=35°． 故选：B． 考点3：圆周角定理 基础知识 ... ...