第四章 图形的性质 第22节 全等三角形 全等图形：能够完全重合的两个图形叫做 ． 注：能够完全重合即形状、大小完全相同． 全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做 三角形 ■考点1全等三角形的性质 (1)全等三角形的对应边、对应角相等． (2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等． (3)全等三角形的周长等、面积等． 失分点警示：运用全等三角形的性质时，要注意找准对应边与对应角. ■考点2.三角形全等的判定 一般三角形全等 SSS（三边对应相等） SAS（两边和它们的夹角对应相等） ASA（两角和它们的夹角对应相等） AAS（两角和其中一个角的对边对应相等） 直角三角形全等 (1)斜边和一条直角边对应相等（HL） (2)证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS. 失分点警示 如图，SSA和AAA不能判定两个三角形全等. ■考点3.全等三角形的运用 （1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角 形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行 条件. （2）全等三角形中的辅助线的作法： ①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等. ②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS可得△ACD≌△EBD，则AC=BE.在△ABE中，AB+BE＞AE，即 . ③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④. ■考点1全等三角形的性质 ◇典例： 如图，≌，，，，则的度数为_____． 【考点】三角形内角和定理，全等三角形的性质 【分析】首先利用三角形内角和计算出∠BAC,再计算出∠BAD的度数,然后再根据全等三角形的性质可得答案. 解：∵，， ∴∠BAC=180°-70°-26°=84°. ∵， ∴∠BAD=84°-30°=54°. ∵≌， ∴∠BAC=∠DAE, ∴∠EAC=∠BAD=54°. 故答案为：54°. 【点睛】本题考查了三角形内角和定理和全等三角形的性质，主要利用了全等三角形对应角相等，熟记性质是解题的关键． ◆变式训练 （2016?厦门）如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE=（ ） A．∠B B．∠A C．∠EMF D．∠AFB ■考点2.三角形全等的判定 ◇典例 【2017黑龙江】如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件 ，使得△ABC≌△DEF． 【考点】全等三角形的判定． 【分析】本题要判定△ABC≌△DEF，易证∠A=∠EDF，∠ABC=∠E，故添加AB=DE、BC=EF或AC=DF根据ASA、AAS即可解题． 解：∵BC∥EF， ∴∠ABC=∠E， ∵AC∥DF， ∴∠A=∠EDF， ∵在△ABC和△DEF中，， ∴△ABC≌△DEF， 同理，BC=EF或AC=DF也可证△ABC≌△DEF． 故答案为AB=DE或BC=EF或AC=DF或AD=BE（只需添加一个即可）． ◆变式训练 1.【2017娄底】如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是 ． 【2018菏泽】如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论． ■考点3.全等三角形的运用 ◇典例： 【2015?义乌】如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC．将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（ ） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【考点】全等三角形的应用． 【分析】在△ADC和△ABC中，由于AC为公共边，AB=AD，BC=DC，利用SSS定理可判定△ADC≌△ABC，进而得到∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE． 解：在△ADC和△ABC中， ， ∴△ADC≌△ABC（SSS）， ∴∠DAC=∠BAC， 即∠QAE=∠PAE． 故选：D． ◆变式训练 【2018永州】现有A、B两个大 ... ...
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