备战2019中考初中数学一轮复习专题导引40讲——36动点综合问题

备战2019年中考初中数学一轮复习专题导引40讲 第36讲 动点综合问题 ?考点解读： 知　识　点 名师点晴 动点问题中的特殊图形 等腰三角形与直角三角形 利用等腰三角形或直角三角形的特殊性质求解动点问题 相似问题 利用相似三角形的对应边成比例、对应角相等求解动点问题 动点问题中的计算问题 动点问题的最值与定值问题 理解最值或定值问题的求法 动点问题的面积问题 结合面积的计算方法来解决动点问题 动点问题的函数图象问题 一次函数或二次函数的图象 结合函数的图象解决动点问题 ?考点解析： 考点1：动点中的特殊图形 基础知识归纳：等腰三角形的两腰相等，直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，平行四边形的对边平行且相等，矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直 基本方法归纳：动点问题常与等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形等特殊图形相结合，解决此类问题要灵活运用这些图形的特殊性质 注意问题归纳：注意区分等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形的性质． 【例1】（2018·四川省攀枝花）如图，在△ABC中，AB=7.5，AC=9，S△ABC=．动点P从A点出发，沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向B点匀速运动，动点Q从C点同时出发，以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动，当点P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正△PQM（P、Q、M按逆时针排序），以QC为边在AC上方作正△QCN，设点P运动时间为t秒． （1）求cosA的值； （2）当△PQM与△QCN的面积满足S△PQM=S△QCN时，求t的值； （3）当t为何值时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上． 解：（1）如图1中，作BE⊥AC于E． ∵S△ABC=?AC?BE=，∴BE=．在Rt△ABE中，AE==6，∴coaA===． （2）如图2中，作PH⊥AC于H． ∵PA=5t，PH=3t，AH=4t，HQ=AC﹣AH﹣CQ=9﹣9t，∴PQ2=PH2+HQ2=9t2+（9﹣9t）2． ∵S△PQM=S△QCN，∴ ?PQ2=×?CQ2，∴9t2+（9﹣9t）2=×（5t）2，整理得：5t2﹣18t+9=0，解得t=3（舍弃）或，∴当t=时，满足S△PQM=S△QCN． （3）①如图3中，当点M落在QN上时，作PH⊥AC于H． 易知：PM∥AC，∴∠MPQ=∠PQH=60°，∴PH=HQ，∴3t=（9﹣9t），∴t=． ②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H． 同法可得PH=QH，∴3t=（9t﹣9），∴t=． 综上所述：当t=s或s时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上． 【变式1】如图，在矩形纸片ABCD中，AB=2，AD=3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C的长的最小值是　　　 ． 【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质． 【分析】连接CE，根据折叠的性质可知A′E=1，在Rt△BCE中利用勾股定理可求出CE的长度，再利用三角形的三边关系可得出点A′在CE上时，A′C取最小值，最小值为CE﹣A′E=﹣1，此题得解． 【解答】解：连接CE，如图所示． 根据折叠可知：A′E=AE=AB=1． 在Rt△BCE中，BE=AB=1，BC=3，∠B=90°， ∴CE==． ∵CE=，A′E=1， ∴点A′在CE上时，A′C取最小值，最小值为CE﹣A′E=﹣1． 故答案为：﹣1． 考点2：动点问题中的计算问题 基础知识归纳：动点问题的计算常常涉及到线段和的最小值、三角形周长的最小值、面积的最大值、线段或面积的定值等问题． 基本方法归纳：线段和的最小值通常利用轴对称的性质来解答，面积采用割补法或面积公式，通常与二次函数、相似等内容． 注意问题归纳：在计算动点问题的过程中，要注意与相似、锐角三角函数、对称、二次函数等内容的结合． 【例2】（2018?黔南州）如图1，已知矩形AOCB，AB=6cm，BC=16cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点O运动，直到点O为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点B运动，与点P同时结束运动． （1）点P到达终点O的运动时间是　 　s， ... ...