（广西专用）2019中考数学二轮新优化复习第二部分专题综合强化专题5与四边形有关的证明与计算针对训练（含答案）

第二部分　专题五 1．(2018·北京)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE. (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若AB＝，BD＝2，求OE的长． (1)证明：∵AB∥CD， ∴∠OAB＝∠DCA. ∵AC为∠DAB的平分线， ∴∠OAB＝∠DAC， ∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD＝AB. ∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形． ∵AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形． (2)解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，BD⊥AC. ∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC. ∵BD＝2，∴OB＝BD＝1. 在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1， ∴OA＝＝2，∴OE＝OA＝2. 2．(2017·柳州)如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，CD边上的点，BE和AF交于点O，且AE＝DF. (1)求证：△ABE≌△DAF； (2)若BO＝4，OE＝2，求正方形ABCD的面积. (1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAE＝∠D＝90°. 在△ABE和△DAF中， ∴△ABE≌△DAF(SAS)． (2)解：∵△ABE≌△DAF，∴∠ABE＝∠FAD. 又∵∠FAD＋∠BAO＝90°， ∴∠ABO＋∠BAO＝90°， ∴∠AOB＝∠EAB＝90°，∴△ABO∽△EBA， ∴＝. ∵BO＝4，OE＝2，∴＝， ∴AB2＝24，∴正方形ABCD的面积是24. 3．(2017·百色)矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，CE，AF分别交BD于G，H两点． 求证：(1)四边形AFCE是平行四边形； (2)EG＝FH. 证明：(1)∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC. ∵E，F分别是AD，BC的中点， ∴AE＝AD，CF＝BC，∴AE＝CF， ∴四边形AFCE是平行四边形． (2)∵四边形AFCE是平行四边形， ∴CE∥AF，∴∠DGE＝∠AHD＝∠BHF. ∵AD∥BC，∴∠EDG＝∠FBH， 在△DEG和△BFH中， ∴△DEG≌△BFH(AAS)，∴EG＝FH. 4．(2018·玉林适应性考试) 如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.点P是AC上动点，∠CAB＝∠CAD，且AB＝10，cos∠CAB＝. (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若点E是AB边上动点，连接PB，PE，求线段PE＋PB的最小值． (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，∴∠CAB＝∠DCA. ∵∠CAB＝∠CAD，∴∠DCA＝∠CAD，∴CD＝AD， ∴四边形ABCD是菱形． (2)解：如答图，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点P，连接BP，此时线段PE ＋PB的值最小， 且PE＋PB＝DE. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，BD＝2BO， ∴∠AOB＝90°. ∵AB＝10，cos∠CAB＝＝， ∴AO＝AB＝8， ∴BO＝6，BD＝2BO＝12. ∵∠DEB＝∠AOB＝90°， ∴∠BDE＝∠OAB， ∴DE＝DB·cos∠BDE＝12×＝， ∴线段PE＋PB的最小值为. 5．(2016·贵港)如图1，在正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H. (1)如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG. ①求证：△AGE≌△AFE； ②若BE＝2，DF＝3，求AH的长． (2)如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N.请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由. 解：(1)①证明：由旋转的性质知AF＝AG， ∠DAF＝∠BAG. ∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD＝90°. 又∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°. ∴∠BAG＋∠BAE＝45°，∴∠GAE＝∠FAE. 在△AGE和△AFE中， ∴△GAE≌△FAE(SAS)． ②∵△GAE≌△FAE，AB⊥GE，AH⊥EF， ∴AB＝AH，GE＝EF＝5. 设正方形的边长为x，则EC＝x－2，FC＝x－3. 在Rt△EFC中，EF2＝FC2＋EC2， 即(x－3)2＋(x－2)2＝25，解得x＝6(负值已舍去)． ∴AB＝6，∴AH＝6. (2)解：MN2＝ND2＋BM2.理由：如答图所示． 将△ABM逆时针旋转90°得△ADM′. ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ABD＝∠ADB＝45°. 由旋转的性质可知， ∠ADM′＝∠ABM＝45°，BM＝DM′. ∴∠NDM′＝90°，∴NM′2＝ND2＋DM′2. ∵∠EAM′＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠EAF＝∠FAM′＝45°. 在△AMN和△ANM′中，  ∴△AMN≌△AM′N(SAS)．∴MN＝ ... ...