备考2019中考数学高频考点剖析专题6 代数之一元二次方程根的判别式问题（含解析）

备考2019中考数学高频考点剖析 专题六 一元二次方程判别式问题 考点扫描聚焦中考 一元二次方程判别式问题，是各省各市地中考的必考内容之一，考查的知识点包括判断根的情况、判断所含字母的取值范围及其与其它知识点的综合运用等三个方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主。也有少量的解析题。解析题主要以判断所含字母取值范围并结合其它知识点综合考查为主。结合2017年全国各地中考的实例，我们从三方面进行一元二次方程判别式问题的探讨： （1）判断根的情况； （2）判断所含字母取值范围； （3）与其它知识综合应用． 考点剖析典型例题 例1（2018?泰州）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（　　） A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1?x2＞0 D．x1＜0，x2＜0 【分析】A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＞0，由此即可得出x1≠x2，结论A正确； B、根据根与系数的关系可得出x1+x2=a，结合a的值不确定，可得出B结论不一定正确； C、根据根与系数的关系可得出x1?x2=﹣2，结论C错误； D、由x1?x2=﹣2，可得出x1、x2异号，结论D错误． 综上即可得出结论． 【解答】解：A∵△=（﹣a）2﹣4×1×（﹣2）=a2+8＞0， ∴x1≠x2，结论A正确； B、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根， ∴x1+x2=a， ∵a的值不确定， ∴B结论不一定正确； C、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根， ∴x1?x2=﹣2，结论C错误； D、∵x1?x2=﹣2， ∴x1、x2异号，结论D错误． 故选：A． 例2（2018年江苏省泰州市?3分）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（　　） A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1?x2＞0 D．x1＜0，x2＜0 【分析】A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＞0，由此即可得出x1≠x2，结论A正确； B、根据根与系数的关系可得出x1+x2=a，结合a的值不确定，可得出B结论不一定正确； C、根据根与系数的关系可得出x1?x2=﹣2，结论C错误； D、由x1?x2=﹣2，可得出x1＜0，x2＞0，结论D错误． 综上即可得出结论． 【解答】解：A∵△=（﹣a）2﹣4×1×（﹣2）=a2+8＞0， ∴x1≠x2，结论A正确； B、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根， ∴x1+x2=a， ∵a的值不确定， ∴B结论不一定正确； C、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根， ∴x1?x2=﹣2，结论C错误； D、∵x1?x2=﹣2， ∴x1＜0，x2＞0，结论D错误． 故选：A． 【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 例3（2018·山东潍坊·3分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+=0有两个不相等的实数根x1，x2．若+=4m，则m的值是（　　） A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．不存在 【分析】先由二次项系数非零及根的判别式△＞0，得出关于m的不等式组，解之得出m的取值范围，再根据根与系数的关系可得出x1+x2=，x1x2=，结合+=4m，即可求出m的值． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+=0有两个不相等的实数根x1、x2， ∴， 解得：m＞﹣1且m≠0． ∵x1、x2是方程mx2﹣（m+2）x+=0的两个实数根， ∴x1+x2=，x1x2=， ∵+=4m， ∴=4m， ∴m=2或﹣1， ∵m＞﹣1， ∴m=2． 故选：A． 【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据二次项系数非零及根的判别式△＞0，找出关于m的不等式组；（2）牢记两根之和等于﹣、两根之积等于． 例4（2018·湖北省孝感·9分）已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）=p（p+1）． （1）试证明：无论p取何值此方程总有两个实数根； （2）若原方程的两根x1，x2，满足x12+x22﹣x1x2=3p2+1，求p的值． 【分析】（1）将原方程变形为一般式，根据方程的系数结合根的判 ... ...