2018_2019学年高中数学新人教B版选修4_5第二章柯西不等式与排序不等式及其应用学案（5份）

2.1.1　平面上的柯西不等式的代数和向量形式 1.认识并理解平面上的柯西不等式的代数和向量形式，以及定理3、定理4、定理5等几种不同形式，理解它们的几何意义. 2.会用柯西不等的代数形式和向量形式以及定理3、定理4、定理5，证明比较简单的不等式，会求某些函数的最值. 自学导引 1.若a1，a2，b1，b2∈R，则(a＋a)(b＋b)≥(a1b1＋a2b2)2，等号成立?a1b2＝a2b1. 2.设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，等号成立?α与β共线?α＝λβ(λ≠0)；|α|＋|β|≥|α＋β|，等号成立的条件为〈α，β〉＝0或α与β同向或α＝λβ(λ>0). 3.设a1，a2，b1，b2为实数，则＋≥，等号成立?存在非负实数μ及λ，使得μa1＝λb1，μa2＝λb2. 4.设平面上三点坐标为A(a1，a2)、B(b1，b2)、C(c1，c2)，则＋≥ ，其几何意义为：|AB|＋|BC|≥|AC|. 5.设α，β，γ为平面向量，则|α－β|＋|β－γ|≥|α－γ|，等号成立的充要条件为α－β＝λ(β－γ)__(λ>0). 基础自测 1.已知a，b∈R*且a＋b＝1，则P＝(ax＋by)2与Q＝ax2＋by2的关系是(　　) A.P≤Q B.PQ 解析　P＝(ax＋by)2＝[(x)＋(y)]2 ≤(ax2＋by2)(a＋b)＝ax2＋by2＝Q ∴P≤Q，选A. 答案　A 2.下列说法： ①二维形式的柯西不等式中a，b，c，d没有取值限制. ②二维形式的柯西不等式中a，b，c，d只能取数，不能为代数式. ③柯西不等式的向量式中取等号的条件是α＝β. ④柯西不等式只能应用于证明不等式或求最值. 其中正确的个数有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析　由柯西不等式的概念知，只①正确，a，b，c，d是实数，没有其取值限制. 答案　A 3.设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则的最小值为_____. 解析　运用柯西不等式求解. 根据柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，的最小值为. 答案　 知识点1　利用柯西不等式证明不等式 【例1】 已知3x2＋2y2≤6，求证：2x＋y≤. 证明　由于2x＋y＝(x)＋(y). 由柯西不等式(a1b1＋a2b2)2≤(a＋a)(b＋b)得 (2x＋y)2≤(3x2＋2y2) ≤×6＝×6＝11， ∴|2x＋y|≤，∴2x＋y≤. ●反思感悟：柯西不等式(a＋a)(b＋b)≥(a1b1＋a2b2)2? ≥|a1b1＋a2b2|，应用时关键是对已知条件的变形. 1.已知a，b，c，d∈R，x>0，y>0，且x2＝a2＋b2，y2＝c2＋d2，求证：xy≥ac＋bd. 证明　由柯西不等式知：ac＋bd≤＝·＝xy.∴xy≥ac＋bd. 【例2】 (二维形式的三角不等式)设x1，y1，x2，y2∈R，用代数的方法证明 ＋≥ . 证明　(＋)2 ＝x＋y＋2 ＋x＋y ≥x＋y＋2|x1x2＋y1y2|＋x＋y ≥x＋y－2(x1x2＋y1y2)＋x＋y ＝x－2x1x2＋x＋y－2y1y2＋y ＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2 ∴＋≥  ●反思感悟：在平面中设α＝(x1，y1)，β＝(x2，y2)，则α±β＝(x1±x2，y1±y2)由向量加法的三角形法则知： |α|＋|β|≥|α＋β|?＋≥ ，由向量减法的几何意义知： |α|＋|β|≥|α－β|?＋≥ . 2.利用柯西不等式证明：≥. 证明　＝ ≤(a2＋b2)＝. 知识点2　利用柯西不等式求函数的最值 【例3】 求函数y＝5＋的最大值. 解　函数的定义域为{x|1≤x≤5}. y＝5＋≤ ＝×2＝6当且仅当5＝ 即x＝时取等号，故函数的最大值为6. ●反思感悟：解题的关键是对函数解析式进行变形，使形式上适合应用柯西不等式，还要注意求出使函数取得最值时的自变量的值. 3.已知x＋y＝1，求2x2＋3y2的最小值. 解　2x2＋3y2＝[(x)2＋(y)2]× ≥ ＝(x＋y)2＝. 课堂小结 1.二维形式的柯西不等式 (a＋a)(b＋b)≥(a1b1＋a2b2)2当且仅当a1b2＝a2b1时等号成立. 2.推论：(1)(a＋b)·(c＋d)≥(＋)2； (2)·≥|a1b1＋a2b2|； (3)·≥|a1b1|＋|a2b2|. 3.柯西不等式的向量形式|α·β|≤|α||β|.当且仅当存在实数λ≠0，使α＝λβ时等号成立. 4.二维形式的三角 ... ...