【2019赢在中考】中考数学2轮专题解读与强化训练 专题10 代数几何综合问题（含解析）

【2019赢在中考】数学二轮专题解读与强化训练专题 10 代几综合问题 / 代几综合题是指以几何元素为背景构造未知量或以代数整数为背景形成几何关系的综合题。涉及知识与园、方程，函数与三角形、四边形等相关知识为主，在方法上把解直角三角形、图形的变换、相似等与代数计算融为一起；在能力考查上体现方程与函数思想、转换思想、数形结合思想、分类讨论等数学思想方法。代几综合题是中考压轴题。 常见类型有： （1）以函数为母图，结合三角形、四边形等图形知识 （2）以三角形、四边形为母图，结合函数 （3）函数与圆的综合题 / 当函数与几何图形相结合时，关键是要做好点的坐标与线段长短的相互转换，同时要考虑分类讨论。特别注意分类的原则是不重不漏、最简。 / 考向一　以二次函数为母图，结合三角形、四边形等图形知识 例1．（2018年湖南省常德）如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x=3． （1）求该二次函数的解析式； （2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标； （3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标． / 【考点】二次函数综合题 【思路点拨】（1）先利用抛物线的对称性确定B（6，0），然后设交点式求抛物线解析式； （2）设M（t，0），先其求出直线OA的解析式为y=/x，直线AB的解析式为y=2x﹣12，直线MN的解析式为y=2x﹣2t，再通过解方程组/得N（/t，/t），接着利用三角形面积公式，利用S△AMN=S△AOM﹣S△NOM得到S△AMN=/?4?t﹣/?t?/t，然后根据二次函数的性质解决问题； （3）设Q（m，/m2﹣/m），根据相似三角形的判定方法，当/=/时，△PQO∽△COA，则|/m2﹣/m|=2|m|；当/=/时，△PQO∽△CAO，则|/m2﹣/m|=/|m|，然后分别解关于m的绝对值方程可得到对应的P点坐标． 【解题过程】解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x=3， ∴B点坐标为（6，0）， 设抛物线解析式为y=ax（x﹣6）， 把A（8，4）代入得a?8?2=4，解得a=/， ∴抛物线解析式为y=/x（x﹣6），即y=/x2﹣/x； （2）设M（t，0）， 易得直线OA的解析式为y=/x， 设直线AB的解析式为y=kx+b， 把B（6，0），A（8，4）代入得/，解得/， ∴直线AB的解析式为y=2x﹣12， ∵MN∥AB， ∴设直线MN的解析式为y=2x+n， 把M（t，0）代入得2t+n=0，解得n=﹣2t， ∴直线MN的解析式为y=2x﹣2t， 解方程组/得/，则N（/t，/t）， ∴S△AMN=S△AOM﹣S△NOM =/?4?t﹣/?t?/t =﹣/t2+2t =﹣/（t﹣3）2+3， 当t=3时，S△AMN有最大值3，此时M点坐标为（3，0）； （3）设Q（m，/m2﹣/m）， ∵∠OPQ=∠ACO， ∴当/=/时，△PQO∽△COA，即/=/， ∴PQ=2PO，即|/m2﹣/m|=2|m|， 解方程/m2﹣/m=2m得m1=0（舍去），m2=14，此时P点坐标为（14，0）； 解方程/m2﹣/m=﹣2m得m1=0（舍去），m2=﹣2，此时P点坐标为（﹣2，0）； ∴当/=/时，△PQO∽△CAO，即/=/， ∴PQ=/PO，即|/m2﹣/m|=/|m|， 解方程/m2﹣/m=/m得m1=0（舍去），m2=8（舍去）， 解方程/m2﹣/m=﹣/m得m1=0（舍去），m2=4，此时P点坐标为（4，0）； 综上所述，P点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）． 【名师点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；灵活运用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题． 考向二　以三角形、四边形为母图，结合函数 例2．（2018年辽宁省沈阳）如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标为（0，10）．点E的坐标为（20，0），直线l1经过点F和点E，直线l1与直线l2 、y=/x相交于点P． （1）求直线l ... ...