备考2019中考数学高频考点剖析专题33 动态几何之最值问题（原卷+解析卷）

备考2019中考数学高频考点剖析 专题三十三 动态几何之最值问题 考点扫描聚焦中考 动态几何中的最值问题，是每年中考的必考内容之一，考查的知识点包括包括单动点形成的最值问题、双（多）动点形成的最值问题、线动形成的最值问题和面动形成的最值问题。四个方面，总体来看，难度系数中游水平，以选择填空为主。也有少量的解析题。解析题主要以几何图形的综合应用为主。结合2017年全国各地中考的实例，我们从四个方面进行动态几何中最值问题的探讨： （1）包括单动点形成的最值问题， （2）双（多）动点形成的最值问题， （3）线动形成的最值问题， （4）面动形成的最值问题。 考点剖析典型例题 例1（2018?山东枣庄?4分）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是　12　． 【分析】根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，而从C向A运动时，BP先变小后变大，从而可求出BC与AC的长度． 【解答】解：根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大， 由图象可知：点P从B向C运动时，BP的最大值为5， 即BC=5， 由于M是曲线部分的最低点， ∴此时BP最小， 即BP⊥AC，BP=4， ∴由勾股定理可知：PC=3， 由于图象的曲线部分是轴对称图形， ∴PA=3， ∴AC=6， ∴△ABC的面积为：×4×6=12 故答案为：12 【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是注意结合图象求出BC与AC的长度，本题属于中等题型． 例2（2018·新疆生产建设兵团·5分）如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是（　　） A． B．1 C． D．2 【分析】先作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值．然后证明四边形ABNM′为平行四边形，即可求出MP+NP=M′N=AB=1． 【解答】解：如图， 作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值，最小值为M′N的长． ∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点， ∴M′是AD的中点， 又∵N是BC边上的中点， ∴AM′∥BN，AM′=BN， ∴四边形ABNM′是平行四边形， ∴M′N=AB=1， ∴MP+NP=M′N=1，即MP+NP的最小值为1， 故选：B． 【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题及菱形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键． 例3（2018·四川省攀枝花·3分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足S△PAB=S矩形ABCD，则点P到A.B两点的距离之和PA+PB的最小值为 ． 解：设△ABP中AB边上的高是h． ∵S△PAB=S矩形ABCD，∴ AB?h=AB?AD，∴h=AD=2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离． 在Rt△ABE中，∵AB=4，AE=2+2=4，∴BE===4，即PA+PB的最小值为4． 故答案为：4． 例4（2018?山东枣庄?10分）如图1，已知二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC． （1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式； （2）判断△ABC的形状，并说明理由； （3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标； （4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标． 【分析】（1）根据待定系数法即可求得； （2）根据抛物线的解析式求得B的坐标，然后根据勾股定理分别求得AB2=20，AC2=80，BC10，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC是直角三角形． （3）分别以A、C两点为圆心，AC长为半径画弧，与x轴交于三个点，由AC的垂直平分线与x轴交于一个点，即可 ... ...