备考2019中考数学高频考点剖析专题34 动态几何之面积问题（原卷+解析卷）

备考2019中考数学高频考点剖析 专题三十四 动态几何之面积问题 考点扫描聚焦中考 动态几何中的面积问题，是每年中考的必考内容之一，考查的知识点包括点动、线动和面动三大类，总体来看，难度系数偏高，以选择填空为主，有的地市重点考查解析题。解析题主要以计算为主。结合2018年全国各地中考的实例，我们从四方面进行动态几何之面积问题的探讨： （1）静态面积问题； （2）点动形成的动态面积问题； （3）线动形成的动态面积问题； （4）面动形成的动态面积问题。 考点剖析典型例题 例1（2018·山东临沂·9分）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若BD=，BE=1．求阴影部分的面积． 【分析】（1）连接OD，作OF⊥AC于F，如图，利用等腰三角形的性质得AO⊥BC，AO平分∠BAC，再根据切线的性质得OD⊥AB，然后利用角平分线的性质得到OF=OD，从而根据切线的判定定理得到结论； （2）设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，利用勾股定理得到r2+（）2=（r+1）2，解得r=1，则OD=1，OB=2，利用含30度的直角三角三边的关系得到∠B=30°，∠BOD=60°，则∠AOD=30°，于是可计算出AD=OD=，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=2S△AOD﹣S扇形DOF进行计算． 【解答】（1）证明：连接OD，作OF⊥AC于F，如图， ∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴AO⊥BC，AO平分∠BAC， ∵AB与⊙O相切于点D， ∴OD⊥AB， 而OF⊥AC， ∴OF=OD， ∴AC是⊙O的切线； （2）解：在Rt△BOD中，设⊙O的半径为r，则OD=OE=r， ∴r2+（）2=（r+1）2，解得r=1， ∴OD=1，OB=2， ∴∠B=30°，∠BOD=60°， ∴∠AOD=30°， 在Rt△AOD中，AD=OD=， ∴阴影部分的面积=2S△AOD﹣S扇形DOF =2××1×﹣ =﹣． 【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了等腰三角形的性质． 例2（2018年江苏省南京市）结果如此巧合! 下面是小颖对一道题目的解答． 题目：如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD=3，BD=4， 求△ABC的面积． 解：设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x． 根据切线长定理，得AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x． 根据勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2=（3+4）2． 整理，得x2+7x=12． 所以S△ABC=AC?BC =（x+3）（x+4） =（x2+7x+12） =×（12+12） =12． 小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC的面积等于AD与BD的积．这仅仅是巧合吗？ 请你帮她完成下面的探索． 已知：△ABC的内切圆与AB相切于点D，AD=m，BD=n． 可以一般化吗？ （1）若∠C=90°，求证：△ABC的面积等于mn． 倒过来思考呢？ （2）若AC?BC=2mn，求证∠C=90°． 改变一下条件…… （3）若∠C=60°，用m、n表示△ABC的面积． 【分析】（1）由切线长知AE=AD=m、BF=BD=n、CF=CE=x，根据勾股定理得（x+m）2+（x+n）2=（m+n）2，即x2+（m+n）x=mn，再利用三角形的面积公式计算可得； （2）由由AC?BC=2mn得（x+m）（x+n）=2mn，即x2+（m+n）x=mn，再利用勾股定理逆定理求证即可； （3）作AG⊥BC，由三角函数得AG=AC?sin60°=（x+m），CG=AC?cos60°=（x+m）、BG=BC﹣CG=（x+n）﹣（x+m），在Rt△ABG中，根据勾股定理可得x2+（m+n）x=3mn，最后利用三角形的面积公式计算可得． 【解答】解：设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x， 根据切线长定理，得：AE=AD=m、BF=BD=n、CF=CE=x， （1）如图1， 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：（x+m）2+（x+n）2=（m+n）2， 整理，得：x2+（m+n）x=mn， 所 ... ...