两角和与差的余弦 【设计理念】 作为一节公式教学课，教师本着尊重学生已有的知识经验，通过设计学生自主探究活动，让学生经历知识的发生发展过程，体会蕴含其中的思想方法，不断提高实践能力，提升创新意识，认识数学的科学价值和审美价值。 【教学目标】 通过探究两角差余弦公式的构成要素与结构特征,提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力. 通过分析两角和与差的余弦公式的推导过程,培养学生逻辑推理 、直观想象、数学运算等方面的核心素养。 通过运用公式，提高分析和解决问题的能力，发展逻辑推理、数学运算等数学核心素养。 用问题引路，让学生体验猜想-验证-证明-应用的过程。通过自主学习、小组合作等形式讨论分析解决问题，树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神。 【教学重难点】 教学重点：两角差的余弦公式的发现和向量法的证明。 教学难点：两角差的余弦公式的向量法证明及其应用。 【教学过程】 （课前预备知识） 角α的终边与单位圆交点P的坐标_____. 数量积公式： 定义：_____cos=_____. 坐标表示：=（a,b）,=(c,d),则=_____. （一）问题情境 1.问题引入 通过观察水墨画墨梅，从构图角度对其进行数学抽象，发现是由若干个相等的15°角组成。如何不用计算器求出cos15°就是本节课即将解决的问题。 设计立意 画上的提诗为元代书画家王冕的《墨梅》，此诗的后两句：“不要人夸好颜色，只留清气满乾坤。”被习京平总书记在一次中外记者见面会上援引，彰显了一个大国在富强之后的民族自信。此处以墨梅为背景引入，渗透了国家层面的富强、民主的核心主义价值观，融入优秀传统文化教育。 将水墨画的构图从数学角度发现15°角，培养学生数学抽象的核心素养，让学生认识数学的文化价值和审美价值。 2.猜想cos15°= 问题1 cos15°可以转化为哪两个特殊角差的余弦？ 问题2 猜想cos15°可以怎样表示，这个猜想成立吗？ 设计立意 引导学生从变换的角度提出所要探究的问题，但类比乘法分配率得出的结论不成立，让学生意识到三角函数与后面的角之间不是相乘关系。 （二）探究cos(α-β)的结构形式 1.猜想cos(α-β)的构成要素： 学生活动：（观察发现）如果把两角差余弦公式中的β替换成,其结果与角的正弦有关，猜想cos(α-β)的结果与还有β正弦还有余弦有关。 设计立意 引导学生从联系的角度研究两角差余弦公式的特殊情况———诱导公式的形式来猜想两角差余弦公式的构成要素，引导学生进行从特殊到一般的归纳推理，培养学生数据分析、逻辑推理的数学素养。 2.猜想cos(α-β)的结构形式 学生活动：从取两组特殊角时满足的结构形式猜想得出两角和与差的余弦公式的结构形式：cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 设计立意 对两组特殊数据满足的关系进行分析，得出公式的结构形式，引导学生进行从特殊到一般的归纳推理，培养学生数据分析、逻辑推理的数学素养。 3. 验证cos(α-β)的结构形式 设计立意 通过一个计算程序来验证此猜想对于角取一般值时也成立，将课堂教学与信息技术融合，提高学生的实践能力。 (三)探究证明 确立证明方法 问题1 从代两组特殊角以及两组非特殊角说明了此公式成立，是否能说明对于任意角都成立？ 设计立意 培养学生发现问题和敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神。 问题2 观察cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，你会产生怎样的联想，受到怎样的启发？ 设计立意 通过让学生观察思考，联想到向量数量积的坐标表示，并且两个点应该是角α、β的终边与单位圆的交点。从而确立用向量的方法来证明两角差的余弦公式。培养学生分析问题的能力。 2.推导思路（向量法） 问题1 已知角α、β，其终边与单位圆的交点为A、B，那么A、B的坐标是什么？ 问题2 若, 则cosθ如何表示？ ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
