第3节 二次根式的加减 知 识 梳 理 知识点1 同类二次根式 1.同类二次根式的概念: 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做_____。 例如:3和2，5和-2，这样的二次根式都是同类二次根式.. 判断同类二次根式的方法:（1）首先将不是最简形式的二次根式化为最简二次根式以后，再看被开方数是否相同；（2）几个二次根式化成最简二次根式后，只要被开方数及根指数相同，就是同类二次根式，而与根号外的因式无关。 2.合并同类二次根式的方法: 合并同类二次根式的方法与合并同类项类似，把根号外的因式相加减，根指数与被开方数不变，如3＋2＝（3＋2）＝5。 知识点2 二次根式的加减运算 1.一般地，二次根式相加减，先把各个二次根式分别化成最简二次根式，然后再合并_____，有括号时，要先去括号。 2.二次根式加减运算的步骤: （1）将每一个二次根式都化简为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式。 注意 （1）二次根式的加减实际上是对同类二次根式的合并.（2）二次根式的加减也满足交换律和结合律。 考 点 突 破 考点1: 同类二次根式的概念 【典例1】下列各式中，哪些是同类二次根式？ ；；；；；.（其中，a＞0，b＞0） 思路导析:判断同类二次根式，要把各个二次根式先化成最简二次根式，再比较被开方数，与系数无关同类二次根式是化成最简二次根式后被开方数相同的二次根式。 解:＝；＝；=；=；=； =。 ∴，，是同类二次根式；，，是同类二次根式。 友情提示 判断同类二次根式是以化简为最简二次根式为前提的，但绝不是指只有化简后的二次根式才是同类二次根式，而是通过化简来判断化简前的根式是否是同类二次根式。 变式1 在二次根式:①，②，③，④中，与与同类二次根式的是（ ） A.①③ B.②③ C.①④ D.③④ 变式2 下列各式中，哪些是同类二次根式？ ；；；；；；。 【典例2】 若最简二次根式与是同类二次根式，求a，b的值。 思路导析:由同类二次根式的定义可知:被开方数相同，根指数相同（都为2），因此对于最简二次根式根据以上两点列方程求解即可。 解:因为最简二次根式与是同类二次根式， 所以 解得 友情提示 解决此类问题的关键是利用同类二次根式的被开方数和根指数分别相同列出关于未知数的方程，然后解方程即可。 变式3 若a，b为有理数，且，求b2的值。 变式4 若最简二次根式和是同类二次根式。 （1）求x，y的值； （2）求x，y平方和的算术平方根。 考点2: 二次根式的加减 【典例3】合并下列同类二次根式: （1）； （2）；（3） 思路导析:根据合并同类二次根式的法则求解，注意不要漏掉系数为1的二次根式。 解:（1）原式＝； （2）原式＝； （3）原式 . 规律总结 二次根式加减法法则: 一般地，二次根式相加减，先把各个二次根式分别化成最简二次根式，然后再将同类二次根式分别合并，有括号时，要先去括号。 不是同类二次根式不能合并，运算结果是一个二次根式和多项式的乘积时，需要将多项式加上括号。 变式5 合并下列同类二次根式: （1）；（2）；（3）. 变式6 化简:（a＞0）。 考点3: 二次根式的化简求值 【典例4】 先化简，再求值。 （1），其中x＝4； （2），其中x＝6. 思路导析:先把二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并，然后把x的值代入计算即可。解:（1）＝＝3. 把x＝4代入上式得: 原式＝3×4＝6； （2）＝＝4， 把x＝6代入上式得:原式＝4×＝12。 友情提示 本题考查了二次根式的化简求值，一定要先化简再求值，二次根式运算到最后，注意结果要化成最简二次根式。 变式7 化简求值:，其中a＝18。 变式8化简求值:，其中a＝2，b＝3. 考点4: 二次根式加减的实际应用 【典例5】 教师节到了，为了表示对老师的敬意，小明做了两张大小不同 ... ...
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