浙江版八年级数学下册第2章2.4一元二次方程 一元二次方程根与系数的关系 【知识清单】 一、一元二次方程根与系数关系：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，那么x1+x2= ，x1·x2= . 二、一元二次方程根与系数关系的应用，概括有下面几种： 1．题目中告诉方程的一个根，求另一个根以及确定方程某个参数的值； 2．已知方程，求关于方程的两根的代数式的值或求作方程； 3．把两个实数作为方程的两个根，求作方程； 4．不解方程判断两个根的符号. 【经典例题】 例题1、已知m，n是关于x的一元二次方程x22(k2+2k)x3k+1＝0的两个实数根，若(m2)(n2)=1，则k的值为( ) A．3 B． C．3或 D．3或 【考点】一元二次方程根与系数的关系． 【分析】由根与系数关系得到m+n和mn的值，展开(m2)(n2)=1后代入求得a的值． 【解答】∵m，n是关于x的一元二次方程x22(k2+2k)x3k+1＝0的两个根， 由根与系数关系得： ① 又(m2)(n2)＝1，即mn2(m+n)+4=1. ② 将①代入②整理得4k2+11k3=0，解得k1=3，k2=． 当k=时，原方程化为x2x+=0， △=b24ac=. x22(k2+2k)x3k+1＝0有两个不相等的实数根根； 当k=3时，原方程化为x26x+10=0， △=b24ac=(6)24×10=4<0， x22(k2+2k)x3k+1＝0无实数根根. 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟记根与系数的关系和判别式是关键． 例题2、已知关于x的一元二次方程x2(2m+3)x+6m=0． (1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(4分) (2)若x1，x2是原方程的两根，且，求m的值．并求出此时方程的两根． 【考点】一元二次方程根的判别式 根与系数的关系． 【分析】?(1)根据关于x的一元二次方程x2(2m+3)x+6m的根的判别式△=b24ac的符号来判定该方程的根的情况；(2)根据根与系数的关系求得x1+x2=(2m+3)，x1?x2=6m；然后由已知条件可以求得(x1x2)2=(x1+x2)24x1x2=6，从而列出关于m的方程，通过解该方程即可求得m的值；最后将m值代入原方程并解方程． 【解答】(1)证明：∵△=(2m+3)24(6m) =(2m3)2+1， ∴无论m取何值，(2m3)2+1恒大于0. ∴原方程总有两个不相等的实数根. (2)∵x1，x2是原方程的两根， ∴x1+x2=(2m+3)，x1?x2=6m. ∵， ∴(x1x2)2=()2， ∴(x1+x2)24x1?x2=6， ∴(2m+3)24(6m)=6， ∴m23m+2=0. 解得：m1=1，m2=2， 当m=1时，原方程化为：x2+5x+=0， 解得：x1=，x2=. 当m=2时，原方程化为：x2+7x+=0， 解得：x3=，x4=. 【点评】本题考查了根与系数的关系和根的判别式的应用，能正确运用性质进行计算是解此题的关键，题目比较好，难度适中． 【夯实基础】 1、如果关于x的方程x2+mx+n=0的两个根分别为x1=5，x2=2，那么这个一元二次方程是( ) A．x2+3x10=0 B．x23x10=0 C．x23x+10=0 D．x2+3x+10=0 2、已知m，n是方程x22x＋2＝0的两根，则代数式的值为 ( ) A．16 B．±4 C．-4 D．4 3、若α、β是关于x的方程的x2(a2+5)+3a=0两个根实数根，且=2，则a的值是( ) A．5 B． 1 C．1或5 D．1或5 4、甲、乙两个同学分别解同一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为5和3，乙把常数项看错了，解得方程的两根为3和4，则原方程是( ) A．x2＋7x15＝0 B．x27x+15＝0 C．x2＋7x＋15＝0 D．x27x15＝0 5、已知方程5x(2x+3)＝(2x+3)的两根是x1，x2，则：x1+x2 ，x1?x2= . 6、已知方程x2＋kx20＝0的一个根是2，则另一个根是 ，k的值是 . 7、设x1，x2是方程x2+x2018=0的两实数根，求x23＋2019x1+2018的值. 8、关于x的一元二次方程x2+(2k5)x+k2+2=0有两个不等实根x1、x2． (1)求实数k的取值范围． (2)若方程两实根x1、x2满足x1+x2=x1?x2，求k的值． 【提优特训】 9、x1，x2是关于x的一元二次方程x2–(m24)x+m2=0的两个实数根，是否存在实数m使成立？则下列正确的结论是( ... ...
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