[2019浙江高考数学]第2讲 三角恒等变换与解三角形

第2讲　三角恒等变换与解三角形 高考定位　1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题. INCLUDEPICTURE"真题感悟.tif" INCLUDEPICTURE "../../2019版%20创新设计%20二轮专题复习%20教师用书%20数学%20浙江专用/真题感悟.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "真题感悟.tif" \* MERGEFORMAT 真 题 感 悟 1.(2018·全国Ⅲ卷)若sin α＝，则cos 2α＝(　　) A. B. C.－ D.－ 解析　cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝. 答案　B 2.(2018·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝(　　) A. B. C. D. 解析　根据题意及三角形的面积公式知absin C＝，所以sin C＝＝cos C，所以在△ABC中，C＝. 答案　C 3.(2018·浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝_____，c＝_____. 解析　因为a＝，b＝2，A＝60°，所以由正弦定理得sin B＝＝＝.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A可得c2－2c－3＝0，所以c＝3. 答案　　3 4.(2017·浙江卷)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是_____，cos∠BDC＝_____. 解析　依题意作出图形，如图所示， 则sin∠DBC＝sin∠ABC. 由题意知AB＝AC＝4，BC＝BD＝2， 则sin∠ABC＝，cos∠ABC＝. 所以S△BDC＝BC·BD·sin∠DBC＝×2×2×＝. 因为cos∠DBC＝－cos∠ABC＝－＝＝，所以CD＝. 由余弦定理，得cos∠BDC＝＝. 答案　　 考 点 整 合 1.三角函数公式 (1)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α. (2)诱导公式：对于“±α，k∈Z的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限. (3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β； tan(α±β)＝. (4)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. (5)辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝. 2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式 (1)正弦定理 在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)； 变形：a＝2Rsin A，sin A＝， a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等. (2)余弦定理 在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A； 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝. (3)三角形面积公式 S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B. INCLUDEPICTURE"热点聚焦.tif" INCLUDEPICTURE "../../2019版%20创新设计%20二轮专题复习%20教师用书%20数学%20浙江专用/热点聚焦.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "热点聚焦.tif" \* MERGEFORMAT 热点一　三角恒等变换及应用 【例1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|＝(　　) A. B. C. D.1 (2)若tan α＝2tan ，则＝(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 (3)如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为，∠AOC＝α.若|BC|＝1，则 cos2－sin·cos－的值为_____. 解析　(1)由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cos2α－1＝，所以cos α＝，sin α＝±，得|tan α|＝.由题意知|tan α|＝，所以|a－b|＝.故选B. (2)＝＝ ＝＝＝＝3. (3)由题意得|OC|＝|OB|＝|BC|＝1，从而△OBC为等边三角形， 所以sin∠AOB＝sin＝， 所以cos2－sincos－ ＝·－－ ＝－sin ... ...