专题13 巧解二次函数与图形面积综合题 知识解读 因动点产生的图形面积问题，是抛物线与三角形、四边形相结合的重要形式，解决这类问题常常用到以下技巧：（1）图形的面积割补；（2）利用平行线的性质作等积变形；（3）等量代换，即把面积之比转化为线段之比；（4）“等底，等高，等面积”由二推一，即以其中任意两个为条件，第三个为结论，命题总成立. 培优学案 典例示范 例1如图13-1，已知抛物线y=ax2＋bx＋3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）. （1）求抛物线的解析式； （2）若点E是抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标. 【提示】（1）只需将A点，C点坐标代入解析式中即可； （2）思路一：△ACE的面积可由AC×h表示，因为AC固定，若要它的面积最大，则只需h最大，即点E到直线AC的距离最大，如图13-2，若设一条平行于AC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个公共点时，该点就是点E. 不妨把这种方法形象的记忆为“平行切线法”。 思路二：基于“分割图形”考虑. 如图13-3，过点E作x轴的垂线，交AC于点F.设E（x，x2-4x＋3），则S△AEC=S△AEF＋S△CEF=EF，即△ACE的面积取决于EF的长。 若把EF的长称为△ACE的“竖直高”，把A，C两点横坐标之差的绝对值称为△ACE 的“水平宽”，则△ACE的面积可直接记为“×竖直高×水平宽”。 思路三：基于“补全图形”考虑。但要分点E在x轴下方和上方两种情况讨论（为什么要分两种情况？），如图13-4，同时一定要搞清楚线段长度与点坐标的关系，长度是正的，要用大坐标减去小坐标，若不能区分，加上绝对值，请读者自行完成。 【跟踪训练】 1.如图13-5，抛物线交轴正半轴于点，交轴于点，点是线段方的抛物线上的一点，求的面积的最大值，并求出此时点的坐标。 【提示】可用例1中的三种方法求解，即平行切线法；分割图形法；补全图形法.此个题还可连接，,具体的解答略，由读者自己完成。 【解答】 图13-5 2.如图13-6，在平面直角坐标系中，矩形的三个顶点分别是，，，点在上，以为顶点的抛物线过点，且对称轴交轴于点.连接，.点，为动点，设运动时间为秒. （1）填空：点坐标为 ；抛物线的解析式为 . （2）在图13-6①中，若点在线段上从点向点以个单位/秒的速度运动，同时，点在线段上从点向点以个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动.当为何值时，为直角三角形？ （3）在图13-6②中，若点在对称轴上从点开始向点以个单位/秒的速度运动，过点作，交于点，过点作于点，交抛物线于点，连接，.当为何值时，的面积最大？最大值是多少？ 图13-6 (1)因为是抛物线的顶点，且抛物线的对称轴为直线，则点横坐标为；又点在矩形的边上，.点的纵坐标与点的纵坐标相等，为，所以点的坐标为；设抛物线的解析式为，将点C的坐标代入上式，即可求得的值； （2）中，不可能是直角，所以应分和两种情况分别计算，可选用锐角三角函数值不变法，也可以利用与两种不同对应方式的相似求解； （3）先求出直线解析式，便于根据点的坐标表示点的横坐标，点的横坐标及纵坐标，进而表示出相关线段的长度，△ACQ的面积可以看做是和的面积之和，采用“×竖直高×水平宽”来计算比较方便. 【解答】 例2如图13-7，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，位于对称轴的左侧，并且不在坐标轴上，过点作轴的平行线交轴于点，交抛物线于另一点，直线交轴于点. （1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标； （2）当时，求点的坐标. 【提示】（2）设出坐标，然后求出直线的解析式，确定线段的长，根据抛物线的轴对称性确定点的坐标及长，然后求出两个三角形的面积，根据图形的面积关系列出 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
