专题5 巧用一元二次方程解应用题 知识解读 “模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义.这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识.”这是《课标》关于模型思想的一段描述.因此，各地中考试卷和竞赛卷都有“方程（组）、不等式（组）、函数建模及其应用”类问题，本讲我们对建模思想之列方程解应用题进行了探讨. 一元二次方程是方程模型的重要代表，许多实际问题可转化为解一元二次方程，研究一元二次方程根的性质而获解。 列一元二次方程解应用题的一般步骤可概括为一审，二设，三列，四解，五验，六答，其中“列”是最重要的一步，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就能得到含有未知数的等式———方程.解题的关键是恰当设未知数，分析数量关系，将实际问题中内在、本质的联系抽象为数学问题，建立二次方程模型解决问题. 培优学案 典例示范 例1某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图5-1所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程l（cm）与时间t（s）满足关系：，乙以4cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为21cm. （1）甲运动4s后的路程是多少？ （2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？ （3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间？ 【提示】（1）根据题目所给的函数解析式把t=4代入求得l的值即可； （2）根据图5-1可知，二者第一次相遇走过的总路程为半圆，分别求出甲、乙走的路程，列出方程求解即可； （3）根据图5-1可知，二者第二次相遇走过的总路程为一圈半，也就是三个半圆，分别求出甲、乙走的路程，列出方程求解即可。 【解答】 【跟踪训练】 如图5-2，在中，，cm，为边上的高.动点从点出发，沿方向以cm/s的速度向点运动.设的面积为，矩形的面积为，运动时间为秒（），请求出为多少秒时，. 【提示】利用三角形的面积公式以及矩形的面积公式，表示出和，然后根据，即可列方程求解。 【解答】 例2某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为. （1）用含的代数式表示第3年的可变成本为万元. （2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率. 【提示】平均增长率中的数量关系：（1）若增长的基数为，每次增长的平均增长率为，则第一次增长后的数量为，第二次增长是以为基数的，两次增长后的数量为；（2）若降低的基数是，两次平均降低率为，则第一次降低后的数量为，第二次降低后的数量为.还可推广出一个“增长率”问题的模型：（其中为基数，为平均增长率，为增长次数，为增长后总量）. 【解答】 【跟踪训练】 1.某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率。 【提示】设每月获得的利润的增长率是，然后用分别表示出2月份和3月份的利润，根据“3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元”列出方程. 【解答】 2.某工厂从今年1月份起，每月生产收入是22万元，但在生产过程中会引起环境污染，若再按现状生产，将会受到环保部门的处罚，每月罚款2万元；如果投资111万元治理污染，治污系统可在1月份启用，这样该厂不但不受处 ... ...
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