第一章全等三角形 专题1 几何证题常用思路 知识解读 接手一道几何题，如何寻找解决问题的思路？本专题向大家介绍的是寻找几何问题常用的解题思路. 1.分析法 分析是指在思想中把事物的整体分解为部分，把复杂事物分解为简单要素，把过程分解为阶段，并加以研究的思维方法，在数学中，我们把分析看作从结果追溯到产生这一结果的原因的一种思维方式，我们把这种思维方法称为分析法.具体地说，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步步探索下去，最后达到题设的已知条件. 2.综合法 综合是在思想中把事物的各个部分、各个方面、各种要素、各个阶段联结为整体进行考察的思维方法.而数学里面的综合法是指从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后得到待证结论或需求的问题. 3.两头凑 分析法与综合法各有优缺点，从寻求解题思路来看，分析法执果索因，常常根底渐进，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不容易奏效.就表达过程而言，分析法叙述颊琐，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清楚。也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表达，因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表达解题过程. 培优学案 典例示范 一、分析法 例1 如图1－1－1，AB＝CD，AB//CD，CE＝AF.判断△ABE与△CDF是否全等，并说明理由. 【提示】要说明△ABE与△CDF是否全等，“AB＝CD”是题目直接提供的，由“CE＝AF”可得“AE＝CF”，再补充一个夹角相等即可，∠DCA＝∠CAB可由AB//CD证明得到. 【解答】 【技巧点评】 利用分析法寻找证明的思路，常表现为，要证明×××，已知×××条件，还需要补充×××条件，即从要证明的结论出发，根据已学过的定义、定理、公理，反过来寻找能使结论成立所需的条件，这样一步步地逆求，一直追溯到结论成立的条件与已知条件吻合，即结论→已知。 跟踪训练 1.如图1－1－2，AD＝CB，∠1＝∠2.求证：AB//CD. 二、综合法 例2 如图1－1－3，已知AB//CD，OA＝OD，AE＝DF.求证：CF//EB. 【提示】从已知看，由AB//CD可得∠3＝∠4，加上QA＝OD和∠1＝∠2可得△QOD≌△BOA；由△COD≌△BOA又可以得到OC＝0B及AB＝CD，至此证明△COF≌△BOE或△CDF≌△BAE的三个条件就全有了，也就顺利得到∠E＝∠F，完成CF/∥EB的证明. 【解答】 【技巧点评】 利用综合法解几何题常常表现为执因索果，即由这个条件可以得出什么结论，由那个条件可以得出什么结论…一步步由已知条件结合已经学过的定义、定理、公理推论，推导出最终的结论.我们不少同学往往都习惯于用这种思路来解决问题. 跟踪训练 2.如图1－1－4，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE＝DF. 拓展延伸 三、两头凑 例3 如图1－1－5，在△ABC中，ADLBC于点D，AD＝DC，∠FCD＝∠BAD，点F在AD上，BF的延长线交AC于点E. （1）求证：BE⊥AC； （2）设CE的长为m，用含m的代数式表示AC＋BF. 【提示】从已知条件看，AD⊥BC，AD＝DC，∠FCD＝∠BAD，可利用ASA证明得到△ABD≌△CFD；从结论看，要证明BE⊥AC，可证明∠EBC＋∠ECB＝90°. 综合来看，∠EBC＋∠ECB＝90°可由“△ABD≌ACFD”证得△BDF，△ACD是等腰直角三角形获得. 【解答】 【技巧点评】 同学们做题的时候，往往习惯于用综合法，也就是从已知条件入手，一步步往后推导得出结论，然而当题目稍复杂一些的时候，往往推导一段后不能继续推导下去。如果此时再从结论入手，看结论成立需要什么条件，就有可能找到解决问题的契合点，从而解决问题. 跟踪训练 3.如图1－1－6，AC⊥CF于点C，DF⊥CF于点F，AB与DE交于点O，且EC＝BF，AB＝DE，求证： AE＝BD. 竞赛链接 例4 （启东中学竞赛题）如图1－1－7，在△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝8厘 ... ...
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